Збірка завдань з параметрами для підготовки до НМТ

1. Лінійні рівняння з параметрами

1.1. Знайдіть найбільше ціле значення параметра а, при якому корінь рівняння ах-2=6х+а від’ємний.

1.2. При яких значеннях а рівняння (a²-16)x+a²-3а-4=0 мають корені більші від 1? Знайдіть суму цілих значень параметра а.

1.3. Знайдіть найменше ціле значення параметра а при якому корінь рівняння ах+7=3х+а від’ємний.

1.4. Знайдіть кількість цілих значень параметра а, при яких рівняння 6-3а+4ах=4а+12х має корінь менший від 1.

1.5. Знайдіть ціле значення параметра а, при якому корінь рівняння 7ах-4а=5ах+5 від’ємне число.

Для перегляду та  скачування  іншіх завдань з теми  скористайтесь  кнопкою нижче.

2. Квадратні рівняння з параметрами

2.1 . Знайдіть найбільше значення параметра а при якому один з коренів х²-(3а+2)х+3а² =0 рівняння в 3 рази більший від іншого.

2.2. Знайдіть усі значення параметра а, при яких сума коренів рівняння х²-(а²-5а)х+4а-1=0 дорівнює -6.

2.3. При яких значеннях параметра а сума квадратів коренів рівняння х²-ах+4а=0 дорівнює 9? У відповідь запишіть їх суму.

2.4. Знайдіть найбільше ціле значення параметра а при якому рівняння х²+2(а+1)х+2а+5=0 має корені різного знаку.

2.5. При яких значеннях параметра а рівняння (2а-3)х²+(6-4а)х+а-1=0 має розв’язки? У відповідь запишіть суму цілих розв’язків значень параметра на проміжку [0;4]

Для перегляду та  скачування  іншіх завдань з теми  скористайтесь  кнопкою нижче.

3. Дробово – раціональні рівняння з параметрами

3. 1. Знайдіть значення параметра а при яких рівняння \dfrac{{ax-5-x}}{x^2  -4}=0 не має розв’язків. У відповідь запишіть суму значень параметрів.

3. 2. Знайдіть значення параметра а при яких рівняння \dfrac{x}{2a+x} - \dfrac{{2a+x}}{x-2a}=\dfrac{{4a}}{x^2 - 4a^2 } не має розв’язків. У відповідь запишіть суму значень параметрів.

3. 3. Знайдіть значення параметра а при яких рівняння \dfrac{{(a+2) x-3a+4}}{x-2}=0 не має розв’язків. У відповідь запишіть суму значень параметрів.

3. 4. При яких значеннях параметра а рівняння \dfrac{{x^2 - 2ax+a^2 -1}}{\sqrt{x^2 -1}}=0 не має коренів.

3. 5 . Знайдіть кількість цілих значень параметра а при яких рівняння \dfrac{{x^2 -(2a+2)x+6a-3}}{\sqrt{2+x-x^2}} має один розв’язок .

Для перегляду та  скачування  іншіх завдань з теми  скористайтесь  кнопкою нижче.

 4. Ірраціональні рівняння з параметром

4.1. Знайдіть найменше ціле значення параметра при якому рівняння \sqrt{x-2} (x^2 -(3+a)x+3a)=0 має три різні корені.

4. 2. При яких значеннях параметра а рівняння (\sqrt{x}-a)(4x-16)=0 має єдиний розв’язок. Знайдіть суму цілих значень параметра а на проміжку а∈[-2;2]

4. 3. Знайдіть найбільше ціле значення параметра а при якому рівняння (\sqrt{x} -a)(3x^2 +10x+3)=0 не має коренів.

4. 4. Знайдіть кількість цілих значень параметра а на проміжку а∈[-2;2], при яких рівняння (\sqrt{x} -a)(x^2 -3x-4)=0 має єдиний розв’язок.

4. 5. Знайдіть всі значення параметра а, при кожному з яких рівняння (3+2a-a^2)\sqrt{x}=a-3, має один корінь. У відповідь запишіть найбільше ціле значення параметра а.

 Для перегляду та  скачування  іншіх завдань з теми  скористайтесь  кнопкою нижче.

 5. Нерівності з параметром

5.1. При яких значеннях параметра а множиною розв’язків системи нерівностей  \begin{cases} (x-a+7)(x-a)\leq 0, \\ x\leq 3 \end{cases} є числовий відрізок, довжина якого дорівнює 4?

5.2. Знайдіть найменше значення параметра а, при яких серед розв’язків системи нерівностей \begin{cases} x^2 - x-6<0, \\ x>a \end{cases} міститься рівно три цілих числа.

5.3. Знайдіть найбільше значення параметра , при яких нерівність \dfrac{{3a-5x+2}}{(a-2)x-a+3}\leq 3  виконується при всіх значеннях х∈(-2; 1,4]

5.4. Знайдіть кількість цілих значень параметра а, а∈[-2;2], при яких нерівність \dfrac{{1-3a+2x}}{2a-x+2}\leq 2 виконується при всіх значеннях х∈[1;3]

5.5. Знайдіть найменше ціле значення параметра а, при яких нерівність (a-1)x^2 -(a+1)x+a+1>0 виконується для всіх х∈R.

 Для перегляду та  скачування  іншіх завдань з теми  скористайтесь  кнопкою нижче.

 6. Системи рівнянь з параметрами

6.1. При яких значеннях параметра а система рівнянь \begin{cases} x^2 + (y-2)^2 = 1, \\ y={\left| x \right|}+a \end{cases} має три розвязки?

6.2. ЗНО 2010 Знайдіть найбільше значення параметра а, при якому система \begin{cases} x^2 + y^2 =81, \\ (x+2)^2 + y^2 = a^2 \end{cases}  має єдиний розв’язок.

6.3. Знайдіть всі значення параметра а, при яких система  \begin{cases} (a+1)x + y=3, \\ 2x-(a-2)y = 6 \end{cases} не має розв’язків.

6.4. Знайдіть значення параметра а, при яких система рівнянь \begin{cases} (a-1)x + 3y=a, \\ x+(a+1)y = 2 \end{cases} має безліч розв’язків.

6.5. Знайдіть ціле значення параметра а, при якому система  \begin{cases} 3x-7y=a, \\ 2x+5y=20 \end{cases} має додатні розв’язки.

Для перегляду та  скачування  іншіх завдань з теми  скористайтесь  кнопкою нижче.

 7. Тригонометричні рівняння з параметром

7.1. Знайдіть добуток значень параметра а, при якому рівняння (\cos x+ \dfrac{1}{2})(\sin x - a)=0 на проміжку [0;2π) має три корені.

7.2. Знайдіть суму найбільшого і найменшого значень параметрів а, при яких рівняння 3-a sinx=2sinx-3a має розв’язки.

7.3. Знайдіть найбільше значення параметра а, при якому рівняння acos x-2=3 cos x+4a має розв’язки.

7.4. При яких значеннях параметра а рівняння sin 23x-(a+0,5) sin 3x+0,5=0 має рівно три корені на відрізку [\dfrac{{2 \pi}}{3} ; \pi]

7.5. Знайдіть суму цілих значень параметра а, при яких рівняння sin²x-(a-2) sinx-3(a+1)=0 має корені.

Для перегляду та  скачування  іншіх завдань з теми  скористайтесь  кнопкою нижче.

 8. Показникові рівняння з параметрами

8.1. Знайдіть найбільше ціле значення параметра а при якому рівняння 36^х -2а∙6^х+а²-1=0 немає розв’язків.

8.2. Знайдіть кількість цілих значень параметра а, при яких рівняння 25^х+(а-1)5^х+а-2а²=0 має два дійсні різні корені. Якщо таких значень не існує, у відповідь напишіть число 100.

8.3. Знайдіть найменше ціле значення параметра а при якому рівняння 4^х-2^х+1∙а-2^х+а(а+1)=0 має два різні корені.

8.4. Знайдіть суму цілих значень параметра а, а∈[-5;5], при яких рівняння 4^х-(а+3)∙2^х+4а-4=0 має тільки один дійсний корінь .

8.5. Знайдіть кількість цілих значень параметра а, а∈[-2;2], при яких рівняння ( √х -а ) ( 3^2х-4∙3^х+3)=0 має два різних корені .

Для перегляду та  скачування  іншіх завдань з теми  скористайтесь  кнопкою нижче.

 9. Логарифмічні рівняння і нерівності

9.1. Знайдіть найбільше ціле значення параметра а, при якому рівняння \log_2 (x^2 -2ax)=\log_2 (2x-4a) має корені.

9.2. Знайдіть кількість цілих значень параметра а, а∈[0;5], при яких рівняння (x-a)\log_2 (2x-7)=0 має один корінь.

9.3. Знайдіть кількість цілих значень параметра а, при яких рівняння \sqrt{x-a} (\log_2 (x+1)-3)=0має два корені.

9.4. Знайдіть кількість цілих значень параметра а, при яких рівняння \sqrt{x-a} (\log_3 (x-2)-2)=0 має два корені.

9.5. Знайдіть суму цілих значень параметра а, при яких рівняння \lg( x^2 -ax)=\lg(2x-4a+8) має один корінь.

Для перегляду та  скачування  іншіх завдань з теми  скористайтесь  кнопкою нижче.

 10. Властивості функцій в завданнях з параметрами

10.1. Знайдіть значення параметра а при якому рівняння | х²-4|x||=а має 6 коренів. У відповідь запишіть суму цілих значень параметра а.

10.2. При яких значеннях b і с вершина параболи у=5х²+bх+с знаходиться в точці А(2;9). У відповідь запишіть значення b+с.

10.3. При яких значеннях параметра а система \begin{cases} y={\left| x \right|}+2, \\ x^2 + (y-a)^2 = 1 \end{cases} має три розв’язки?

10.4. Знайдіть значення параметра а при якому рівняння |x+5|+|x-3|=a має безліч розв’язків.

10.5. Для яких значень параметра а найменше значення функції у=х²-(а+2)х+а² на відрізку [-1;1] дорівнює 4? У відповідь запишіть найменше ціле значення параметра а .

Для перегляду та  скачування  іншіх завдань з теми  скористайтесь  кнопкою нижче.