Скачай теоретичний матеріал, щоб він завжди був під рукою.

Теоретичні відомості.

Тема «Показникові і логарифмічні рівняння»

Показникові рівняння – рівняння, у яких невідоме входить до показників степеня.

Способи розв’язання.

1. Зведення до спільної основи

(2^х-3)^x+4=0,5^х٠4^х-4
2^(х-3)(х+4)= 2^-х٠2 ^2(х-4)
2^{x^2+x-12}=2^{-x+2(x-4)}
x²+x-12= -x+2x-8
x²=4; x_1,2=±2

2. Винесення за дужки спільного множника (мають показники з однаковою буквеною частиною)

5^х+5^х+2=130
5^х(1+5²)=130
5^х٠26=130
5^х=5
х=1

3. Рівняння, що зводяться до квадратних

4^x-10٠2^x-1-24=0
2^{2x} -10*{ {2^x}/{2}} -24=0
2^2x-5٠2^x-24=0
2^x=t
t²-5t-24=0; t₁=8, t₂=-3 – не задовольняє
2^х=8; 2^х=2³; х=3

4. Однорідні показникові рівняння

6٠25^х-5٠10^х-4^х=0
6٠5^2х-5٠(2٠5)^х-2^2х=0
\dfrac{{6* 5^{2x}}}{2^{2x}} - 5 {{(2*5)^x}/{2^{2x}}} - \dfrac{{2^{2x}}}{2^{2x}} =0
6*(\dfrac{5}{2})^{2x} - 5*(\dfrac{5}{2})^{x} -1=0 ; (\dfrac{5}{2})^x =t ; t>0
6t²-5t-1=0
t₁=1; t₂=- \dfrac{1}{6} – не задовольняє
(\dfrac{5}{2})^x=1; x=0

Логарифмічні рівняння – рівняння містять змінну під знаком логарифма.
Способи розв’язання.
1. За означенням логарифма

log_0,1 (x-7)=-1
x-7=0,1^-1
x-7=10
x=17

2. Використання логарифмічних властивостей і зведення до виду loga f(x)=loga g(x); a>0; a≠1

\begin{cases} f(x)=g(x) \\ f(x)>0 \\ g(x)>0 \end{cases} – з нерівносте можна розв’язати одну
log₃ (3x-1)+ log₃ (x+1) =1 + log₃ (x+3)
ОДЗ: \begin{cases} 3x-1>0 \\ x+1>0 \\ x+3>0 \end{cases}
log₃ (3x-1)(x+1) = log₃ 3(x+3)
(3x-1)(x+1) = 3(x+3)
3х²-х-10=0
х₁=2; x₂=- \dfrac{5}{3}– не задовольняє ОДЗ

3. Заміна і зведення до квадратного

3 lg² (x-1)-10 lg(x-1)+3=0; ОДЗ: x-1>0
lg(x-1)=t
3t²-10t+3=0
t₁=3
lg(x-1)=3
x-1=10³
x=1001

t₂=\dfrac{1}{3}
lg(x-1)= \dfrac{1}{3}
x-1=10^{1/3}
x= \sqrt[3]{10}+1

Скачай теоретичний матеріал, щоб він завжди був під рукою.