Завдання з теми для самостійного розв’язання. Відповіді
Скачай завдання для самостійного опрацювання.
Скачай відповіді для самоперевірки
Завдання для самостійного опрацювання.
Тема «Аксіоми стереометрії. Прямі і площини в просторі»
1. Вибрати невірне твердження.
| А | Б | В | Г | Д |
| Якщо дві різні площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій, що проходить через цю точку. | Через пряму і точку можна провести площину і тільки одну. | Якщо дві точки прямої належать площині, то вся пряма належить цій площині. | Через дві прямі, що перетинаються можна провести площину, і тільки одну. | Через дві точки простору можна провести одну пряму |
2. Точки А, В, С, D не лежать в одній площині. Як розміщені прямі АВ і СD?
| А | Б | В | Г | Д |
| паралельні | перетинаються | лежать в одній площині | мимобіжні | неможливо визначити |
3. До площини квадрата АВСD проведено перпендикуляр DМ. Сторона квадрата дорівнює 5см. Знайти довжину проекції похилої МВ.
| А | Б | В | Г | Д |
| 5 \sqrt{2}см | 5см | 3см | 4см | 5 см |
4. ( Пробне ЗНО 2007) Визначте на рисунку лінійний кут двогранного кута з ребром ВС, якщо у трикутнику АВС ∠C = 90 і PA ⊥ (ABC). 
| А | Б | В | Г | Д |
| ∠РСА | ∠РКА | ∠РВА | ∠АРК | інша відповідь |
5. ( Пробне ЗНО 2009) Задано дві мимобіжні прямі a і b. Скільки існує різних площин, які проходять через пряму a і є паралельними прямій b.
| А | Б | В | Г | Д |
| жодної | одна | дві | три | безліч |
6. ( Пробне ЗНО 2010) Які з наведених тверджень правильні?
I. Якщо коло має з площиною дві спільні точки, то всі точки кола належать цій площині.
II. Якщо три вершини паралелограма належать площині, то всі точки паралелограма належать цій площині.
III. Якщо круг і площина мають три спільні точки, то всі точки круга належать цій площині.
| А | Б | В | Г | Д |
| лише ІІ | лише ІІІ | лише І і ІІ | лише І і ІІІ | лише ІІ і ІІІ |
7. (Пробне ЗНО 2013) Точки В і С лежать на прямій , що паралельна прямій а . Скільки існує площин, які паралельні прямій а і проходять через точки В і С?
| А | Б | В | Г | Д |
| жодної | лише одна | лише дві | лише три | безліч |
8. ( Пробне ЗНО 2014) На рисунку зображено куб ABCDA1B1C1D1 , ребро якого дорівнює 1см. Обчисліть відстань від точки А до прямої В1С1. 
| А | Б | В | Г | Д |
| 1см | 2см | √2см | 3см | 1,5см |
9. ( Пробне ЗНО 2014) Точка не належить площині . Які з наведених тверджень є правильними?
I. Через точку можна провести лише одну площину, паралельну площині .
II. Через точку можна провести лише одну площину, перпендикулярну до площини .
III. Через точку можна провести лише одну площину, що перетинає площину під кутом .
| А | Б | В | Г | Д |
| лише І | лише ІІ | лише І і ІІІ | лише ІІ і ІІІ | І, ІІ і ІІІ |
10. ( Пробне ЗНО 2015) На рисунку зображено куб ABCDA1B1C1D1. Визначте градусну міру кута між прямими АВ1 і DD1
| А | Б | В | Г | Д |
| 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
11. ( Пробне ЗНО 2016) У просторі задано пряму b і точку А, що не належить цій прямій. Скільки всього існує різних площин, які проходять через точку А і не мають спільних точок з прямою b?
| А | Б | В | Г | Д |
| жодної | лише одна | лише дві | лише три | безліч |
12. ( Пробне ЗНО 2017) На рисунку зображено прямокутний паралелепіпед ABCDA1B1C1D1 Яка з наведених прямих лежить в одній площині з прямою CC1?
| А | Б | В | Г | Д |
| АВ | DB1 | A1D1 | BD | AA1 |
13. ( ЗНО 2003) Через точку O, точку перетину діагоналей квадрата ABCD, проведено перпендикуляр MO до його площини. Відомо, що AD = 8. Знайдіть відстань між прямими AB і MO.
| А | Б | В | Г | Д |
| 8 | 4√2 | 4√5 | 4 | 2 |
14. ( ЗНО 2003) Двогранний кут дорівнює 45°. Задано точку на одній із граней кута. Відстань від цієї точки до другої грані кута 12 см. Знайдіть відстань від заданої точки до ребра двогранного кута.
| А | Б | В | Г | Д |
| 4см | 12√2см | 12см | 8√2см | 6√2см |
15. (ЗНО 2009) Укажіть УСІ ПРАВИЛЬНІ твердження.
І. Через точку, що не належить площині, можна провести лише одну пряму, паралельну площині.
ІІ. Через точку, що не належить площині, можна провести лише одну площину, паралельну площині.
ІІІ. Через точку, що не належить площині, можна провести лише одну пряму, перпендикулярну до площини.
ІV. Через точку, що не належить площині, можна провести лише одну площину, перпендикулярну до площини.
| А | Б | В | Г | Д |
| ІІ | ІІ,ІІІ | І, ІV | І,ІІІ, ІV | ІІ, ІІІ, ІV |
16. (ЗНО 2010) На рисунку зображено куб ABCDA1B1C1D1. Перерізом куба площиною, що проходить через точки А, С, С1 є
| А | Б | В | Г | Д |
| прямокутний трикутник | рівносторонній трикутник | прямокутник | ромб | трапеція |
17. ( ЗНО 2011) На рисунку зображено куб ABCDA1B1C1D1. Укажіть серед поданих нижче пряму, що утворює з прямою СD1 пару мимобіжних прямих.
| А | Б | В | Г | Д |
| А1В | С1D | CB1 | AB | CD |
18. ( ЗНО 2013) Пряма b не має спільних точок з площиною α. Які з наведених тверджень є правильними?
І. Через пряму b можна провести лише одну площину, перпендикулярну до площини α.
ІІ. Через пряму b можна провести лише одну площину, паралельну площині α.
ІІІ. У площині α можна провести лише одну пряму, паралельну прямій b.
| А | Б | В | Г | Д |
| лише І | лише ІІ | лише І і ІІ | лише ІІ і ІІІ | І, ІІ, ІІІ |
19. ( ЗНО 2013) Які з наведених тверджень є правильними?
І. Через дві прямі, що перетинаються, можна провести лише одну площину.
ІІ. Через точку, що не належить площині, можна провести безліч прямих, паралельних цій площині.
ІІІ. Якщо дві різні площини паралельні одній і тій самій прямій, то вони паралельні між собою.
| А | Б | В | Г | Д |
| лише І | лише І і ІІ | лише І і ІІІ | лише ІІ і ІІІ | І, ІІ, ІІІ |
20. ( ЗНО 2014) Відрізок АВ перетинає площину α в точці О. Проекції відрізків АО і ВО на цю площину дорівнюють 5 см і 20 см відповідно. Знайдіть довжину відрізка АВ, якщо АО=8см.
| А | Б | В | Г | Д |
| 10см | 22см | 32см | 40см | 52см |
Більше завдань дивись в прикріпленому файлі.
30. (За кожну відповідність 1 бал) Установити відповідність між відрізками ( 1-4) і їх довжинами ( А-Д).
| 1 | А1В1 – проекція відрізка АВ. АВ=10см. Точка С належить відрізку АВ. АС=5см. Якщо А1В1=6см, то А1С1 дорівнює | А | 10см |
| 2 | Відрізок прямої АВ розділений точкою С так, що АС:СВ=2:3. А1, В1, С1 – проекції точок А, В, С на площину α. Знайти А1С1, якщо А1В1=25см. | Б | 3см |
| 3 | Дано паралельні площини α і β. Точки А і В лежать у площині α, а точки С і D – у площині β. Відрізки АС і ВD перетинаються у точці О. Знайти АО, якщо АВ=6см, DC=4см, ОС=12см. | В | 5см |
| 4 | Площини α і β паралельні, точки А і В лежать у площині α, точки М і Р – у площині β. АМ||ВР. АМ=5см.Тоді довжина відрізка ВР Г 15см | Г | 15см |
| Д | 18см |
31. На рисунку зображено куб АВСDA1B1C1D1. Установити відповідність між кутами ( 1-4) і їх градусними мірами ( А-Д).
| 1 | Кут між прямими АВ1 і АD1. | А | 0º |
| 2 | Кут між прямими АА1 і DC1 | Б | 30º |
| 3 | Кут між прямими АС і В1D1. | В | 45º |
| 4 | Кут між прямими ВВ1 і DD1. | Г | 60º |
| Д | 90º |
32. На рисунку зображено куб АВСDA1B1C1D1 , ребро якого дорівнює 5см. Установити відповідність між кутами ( 1-4) і їх градусними мірами ( А-Д).
| 1 | Кут між прямими АВ1 і АD1. | А | 0º |
| 2 | Кут нахилу прямої АВ1 до площини АВС. | Б | \operatorname{arctg} \dfrac{{\sqrt{2}}}{2} |
| 3 | Кут між площинами АВСD і BВ1C1C. | В | 45º |
| 4 | Кут між прямими ВВ1 і DD1. | Г | 60º |
| Д | 90º |
Більше завдань дивись в прикріпленому файлі.
45. Через вершину С прямокутного трикутника АВС (кут АСВ=90º) до його площини проведено перпендикуляр КС. Знайти довжину АС, якщо АВ=15см, КС=5см, КВ=13см.
46. Сторона рівностороннього трикутника дорівнює 5 \sqrt{3} см. Точка А рівновіддалена від кожної вершини трикутника на 13см. Обчислити відстань від точки А до площини трикутника.
47. З точки М до площини α проведено дві рівні взаємно перпендикулярні похилі МА і МВ. Знайти кут між похилою МА та її проекцією на площину α, якщо кут між проекціями похилих дорівнює 120°.
48. Кут між площинами трикутників АВС і АВD дорівнює 45º. Трикутник АВС – рівносторонній зі стороною 4 \sqrt{3}см, трикутник ABD – рівнобедрений, AD=BD= \sqrt{14} см. Знайти довжину відрізка CD. У відповідь запишіть CD2.
49. З точки до площини трикутника, сторони якого дорівнюють 13см, 14см і 15см, проведено перпендикуляр довжиною 16см. Основою цього перпендикуляра є вершина кута, що лежить проти сторони завдовжки 14см. Обчислити відстань від даної точки до цієї сторони.
50. ( ЗНО 2004) Через вершину A гострого кута прямокутного трикутника BAC до площини трикутника проведено перпендикуляр AM довжиною √13 см. Відомо, що ∠ACB = 30°,BC = 6 см. Знайдіть відстань від точки M до прямої BC, у см.
Більше завдань дивись в прикріпленому файлі.
Скачай завдання для самостійного опрацювання.
Скачай відповіді для самоперевірки