Похідна, первісна та інтеграл в завданнях НМТ

 Скачай завдання для самостійного опрацювання.

Скачай відповіді для самоперевірки

 

 

Завдання для самостійного опрацювання.
Тема «”Похідна, первісна та інтеграл в завданнях НМТ»

 1. Знайдіть похідну функції f(x)=3x^2 +\dfrac{2}{x^2} +4

А. f'(x) =x^3 - \dfrac{1}{x}
Б. f'(x) =6x+ \dfrac{1}{x} +4
В. f'(x) =6x+ \dfrac{2}{x^3}
Г. f'(x) =6x- \dfrac{4}{x^3}
Д. f'(x) =x^3 - \dfrac{1}{x} +4x

2. Знайдіть похідну функції f(x)=x+ \dfrac{1}{x^2}.
А. f'  (x)=1+\dfrac{1}{2}x
Б. f'  (x)=x- \dfrac{2}{x^2}
В. f'  (x)=1+ \dfrac{2}{x^2}
Г. f'  (x)=\dfrac{{x^2}}{2} - \dfrac{1}{x}
Д. f'  (x)=1- \dfrac{2}{x^3}

3. Знайдіть похідну функції f(x)=\dfrac{{x^2-5}}{3}x.
А. f' (x)=\dfrac{{x^2}}{6} - \dfrac{5}{3} \ln {\left| x \right|}
Б. f'  (x)=\dfrac{{x^2 -5}}{3x^2}
В. f'  (x)=\dfrac{{x^2 +5}}{9x^2}
Г. f'  (x)=\dfrac{{x^2 +5}}{3x^2}
Д. f'  (x)=2\dfrac{x}{9}

4. Матеріальна точка рухається прямолінійно за законом x(t) = 6t², де x(t) — координата точки (у метрах), t — час (у секундах). За якою формулою визначається швидкість v(t) руху цієї матеріальної точки в будь-який момент часу t?

А	Б	В	Г	Д
v(t)=3t3	v(t)=12t	v(t)=3t	v(t)=6t	v(t)=2t3

5. Матеріальна точка рухається прямолінійно за законом x(t)=1,2t+0,2t², де x(t) — координата точки (у метрах), t — час (у секундах). Знайдіть швидкість цієї точки в момент часу t=2,75 c.

А	Б	В	Г	Д
2,3 м/с	1,75 м/с	4,4 м/с	3,85 м/с	3,875 м/с

6. Пряма a – дотична до графіка функції y=f(x). Знайдіть f’(0) 

А	Б	В	Г	Д
1	2	-1	-2	0,5

Похідна, первісна та інтеграл в завданнях НМТ. Завдання 1-6. Пояснення. Розв’язок

 

 

7. Обчисліть значення похідної функції f(x)= (7x+5)(3 cos x-1) у точці x₀ = 0.

 8. Задано функцію f(x)=6\sqrt{x} - \dfrac{16}{x} + \ln 2. Обчисліть значення похідної в точці f’(4).

 9. Обчисліть значення похідної функції y=-2x^3 + \dfrac{10}{x} - 14. у точці x₀ = 2.

 10. Задано функцію f(x)=81 \sqrt{x} - \dfrac{81}{x} + \ln5. Обчисліть f’(9).

 11. Знайдіть похідну функції f(x)=\dfrac{{x^2 -5}}{3x+1} у точці з абсцисою x₀ = 3.

Похідна, первісна та інтеграл в завданнях НМТ. Завдання 7-11. Пояснення. Розв’язок

 

 

12. Обчисліть значення похідної функції f(x)=x(4-x) у точці x₀ = 5.

 13. Задано функцію \begin{cases} 30, x<-2, \\ 2x^2 +x , x \geq -2 \end{cases}. Обчисліть f(-3) – f’(2).

 14. Задано функцію \begin{cases} \dfrac{9}{x^2}, x<-1, \\ -5x^3 -4x, x\geq -1 \end{cases}. Обчисліть f(-2)+f’(2).

 15. Тіло рухається прямолінійно за законом x(t)=t²+t+3, де x(t) — координата точки (у метрах), t — час (у секундах). Визначте момент часу (у секундах), у який швидкість точки дорівнюватиме 9 м/с.

 16. Обчисліть кутовий коефіцієнт дотичної, проведеної до графіка функції f(x)=20-3x+x² у точці з абсцисою x₀=- 6.

 17. Знайдіть абсцису точки графіка функції f(x)=x^3 +\dfrac{{x \sqrt{3}}}{3} , в якій дотична нахилена до осі абсцис під кутом \alpha=\dfrac{\pi}{6}.

Похідна, первісна та інтеграл в завданнях НМТ. Завдання 12-17. Пояснення. Розв’язок

 

 

18. Укажіть рисунок, на якому може бути зображено графік первісної для функції f(x) =- 3.

19. Знайдіть загальний вигляд первісних функції f(x)=\dfrac{12}{x^3} -4x.

А. F(x)=- \dfrac{36}{x^2} -2x^2 +C
Б. F(x)=- \dfrac{6}{x^2} -2x^2 +C
В. F(x)=\dfrac{4}{x^2} -4+C
Г. F(x)=- \dfrac{36}{x^4} -4+C
Д. F(x)=- \dfrac{6}{x^2} -4+C

20. Яка з наведених функцій є первісною для функції f(x) = e^x + 2?
А. F(x)=e^x +2x-3
Б. F(x)=e^x +1
В. F(x)=2x
Г. F(x)=xe^{x-1}+2x+3
Д. F(x)=xe^{x-1}

21. Визначте загальний вигляд первісних функції f(x)=4x-\dfrac{3}{\cos^3 x}.
А. F(x)=2x^2 - 3 \operatorname{tg} x+C
Б. F(x)=4x^2 -3 \operatorname{tg} x+C
В. F(x)=2x^2 -3 \operatorname{tg} x+C
Г. F(x)=x^2 - 3 \operatorname{tg} x+C
Д. F(x)=2x^2 - \dfrac{3}{\operatorname{tg} x}+C

22. Укажіть для функції f(x) = 3x + 1 первісну, графік якої проходить через точку M(0; 1).
А. F(x)=3x^2 +1
Б. F(x)=\dfrac{3}{2}  x^2 +x+1
В. F(x)=\dfrac{3}{2} x^2
Г. F(x)=3
Д. F(x)=3x^2 +x

23. Якщо функція F(x) = x³ + 4 є однією з первісних для функції f(x), тоді f(x) =

А	Б	В	Г	Д
3x	\dfrac{{x^4}}{4} + C	3x^2 + 4	2x^2	3x^2

 24. Обчисліть інтеграл \int {0}{2}{(f(x)+6)dx}, якщо \int {0}{2}{f(x) dx}=8.

25. Укажіть формулу для обчислення площі S фігури, обмеженої графіками функцій y = 2^x, y = 2 і x = 0 (див. рисунок). 
А. S= \int {0}{1}{2^x dx}
Б. S= \int {0}{1}{(2^x - 2) dx}
В. S= \int {0}{2}{(2 - 2^x) dx}
Г. S= \int {0}{1}{(2 - 2^x) dx}
Д. S= \int {0}{2}{(2^x - 2) dx}

Похідна, первісна та інтеграл в завданнях НМТ. Завдання 18-25. Пояснення. Розв’язок

 

 

26. Визначте для функції f(x)=\dfrac{15}{x^2} +7 первісну F(x), графік якої проходить через точку (−5; 0). У відповідь запишіть значення F(−2).

27. Функція F(x)=4x³ – 3x² + 9 є первісною для функції y = f(x). Визначте f(2).

28. Функції F(x)=4x³ – 3x² + 9 і G(x) є первісними для функції f(x). Графік функції G(x) проходить через точку (−1; 0). Обчисліть G(1).

Похідна, первісна та інтеграл в завданнях НМТ. Завдання 26-28. Пояснення. Розв’язок

 

 

29. Обчисліть f' (-1) + \int {1}{2}{f(x) dx} , якщо f(x)=4x³ – 3.

 30. Обчисліть інтеграл \int {-2}{1}{(x^2 + 7x)dx}.

 31. Обчисліть інтеграл \int {-2}{1}{(x^2 + 4x)dx}.

 32. Обчисліть інтеграл \int {3}{5}{{x^2 + 2x + 1}/{x+1} dx}.

Похідна, первісна та інтеграл в завданнях НМТ. Завдання 29-32. Пояснення. Розв’язок

 

 

33. Обчисліть інтеграл \int {1}{e^3}{{dx}/{6x}}.

 34. Обчисліть інтеграл \int {1}{e^5}{{dx}/{2x}}.

35. Відомо, що \int {1}{5}{f(x) dx}=14. Обчисліть \int {1}{5}{(5-3*f(x))dx}

 36. Обчисліть \int {0}{7}{f(x) dx}, використавши зображений на рисунку графік лінійної функції y=f(x). 

 37.  Графік функції y=f(x), визначено на проміжку (−∞; +∞), паралельний осі x. Площа зафарбованої фігури дорівнює 8 кв. од. Обчисліть \int {-3}{3}{f(x) dx}. 

 38. На рисунку зображено графік функції y=f(x), визначеної на проміжку (−∞; +∞). Укажіть правильну подвійну нерівність, якщо a=\int {-2}{0}{f(x) dx}, b= \int{0}{2}{f(x) dx}, c=\int{2}{4} {f(x) dx}. 

А	Б	В	Г	Д
a<b<c	b<c<a	c<a<b	c<b<a	b<a<c

Похідна, первісна та інтеграл в завданнях НМТ. Завдання 33-38. Пояснення. Розв’язок

 

 

39. На рисунку зображено графік функції f(x)= \begin{cases} 1, x \in (- \infty;0) \\ 2, x \in (0; + \infty) \end{cases}. Обчисліть \int {-4}{-1}{f(x)dx}+2 \int {1}{8}{f(x) dx}. 

 40. На рисунку зображено графік неперервної на відрізку [0; 5] функції y=f(x). Площі фігур A і B, обмежених віссю x та графіком цієї функції, дорівнюють 7,2 кв. од. і 6,1 кв. од. відповідно. Обчисліть \int {0}{5}{(f(x)+6)dx}. 

 41. На рисунку зображено графік неперервної на відрізку [0; 5] функції y=f(x). Площі геометричних фігур A, B і C, обмежених віссю x та графіком цієї функції, дорівнюють 6,3 кв. од., 5,4 кв. од. та 4 кв. од. відповідно. Обчисліть \int {0}{5}{(f(x)+4)dx} 

 Похідна, первісна та інтеграл в завданнях НМТ. Завдання 39-41. Пояснення. Розв’язок

 

 

42. На рисунку зображено графік функції y=f(x), визначеної на проміжку [−5; 5], фрагментом якої є півколо. Обчисліть \dfrac{1}{\pi} \int {-5}{5}{f(x)dx} 

43. На рисунку зображено графіки функцій y=3 \sqrt{x} і y=\dfrac{3}{2}  x. Обчисліть площу фігури, обмеженої графіками цих функцій.

Похідна, первісна та інтеграл в завданнях НМТ. Завдання 42-43. Пояснення. Розв’язок

 

 

 Більше завдань дивись в прикріпленому файлі.

Скачай відповіді для самоперевірки