Теоретичний матеріал. Основні відомості
Скачай теоретичний матеріал, щоб він завжди був під рукою.
Тема «Ірраціональні вирази»
Означення. Вирази, що містяться під знаком кореня – ірраціональні вирази
| Арифметичний квадратний корінь – невід’ємне число, квадрат якого дорівнює а | Арифметичним кореням n-го степеня з невід’ємного числа а називають невід’ємне число n-ий степінь якого дорівнює а | |||
|
\sqrt{a}=b \sqrt{25}=5 |
b^2=a 5^2=25 |
a≥0 b≥0 |
\sqrt[3]{125}=5 | 5^3=125 |
Властивості:
| 1 | (\sqrt{a})^2=a | (\sqrt{5})^2=5 | 1 | (\sqrt[n]{a})^n=a | (\sqrt[3]{15})^3=15 |
| 2 | \sqrt{a^2}=\left| a \right| | \sqrt{{-5}^2}=\left| -5 \right|=5 | 2 |
\sqrt[n]{a^n}=a, якщо n - непарне \sqrt[n]{a^n}=\left| a \right|, якщо n - парне |
|
| 3 |
a≥0, b≥0 \sqrt{ab}=\sqrt{a}*\sqrt{b} |
\sqrt{4*9}=2*3=6 | 3 | \sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b} | \sqrt[4]{81*625}=\sqrt[4]{81}\sqrt[4]{625}=3*5=15 |
| 4 |
a≥0, b≥0 \sqrt{a/b}=\dfrac{{\sqrt{a}}}{\sqrt{b}} |
\sqrt{9/4}=\dfrac{3}{2}=1,5 | 4 | \sqrt[n]{a/b}=\dfrac{{\sqrt[n]{a}}}{\sqrt[n]{b}} | \sqrt[3]{27/125}=\dfrac{{\sqrt[3]{27}}}{\sqrt[3]{125}}=\dfrac{3}{5} |
| 5 | (\sqrt[n]{a})^k=\sqrt[n]{a^k} | (\sqrt[3]{3})^2=\sqrt[3]{3^2}=\sqrt[3]{9} | |||
| 6 | \sqrt[n]{root{k}{a}}=\sqrt[nk]{a} | \sqrt[3]{\sqrt{2}}=\sqrt[6]{2} | |||
| 7 | \sqrt[nk]{a^mk}=\sqrt[n]{a^m} | \sqrt[15]{2^9}=\sqrt[5]{2^3}=\sqrt[5]{8} | |||
Застосування властивостей:
1 Винесення множника з під знаку кореня
| \sqrt{12}=\sqrt{4*3}=2\sqrt{3} | \sqrt[4]{48}=\sqrt[4]{16*3}=2\sqrt[4]{3} |
| \sqrt{4a^5}=\sqrt{4a^4 a}=2 \left| a^2 \right|\sqrt{a}=2a^2 \sqrt{a} | \sqrt[3]{-27 a^5}=\sqrt[3]{-27a^3 a^2}=-3 a \sqrt[3]{a^2} |
2 Внесення множника під знак кореня
| 4\sqrt{2}=\sqrt{4^2 * 2}=\sqrt{32} |
2 \sqrt[3]{3}=\sqrt[3]{2^3 *3}=\sqrt[3]{8*3}=\sqrt[3]{24} |
| - 5 \sqrt{2}= - 5\sqrt{5^2 * 2}=- \sqrt{50} | -3 \sqrt[4]{2}=- \sqrt[4]{3^4 *2}=- \sqrt[4]{81*2}=- \sqrt[4]{162} |
3 Спрощення виразів
|
2 \sqrt{12}+3 \sqrt{27}=2 \sqrt{4*3}+3 \sqrt{9*3}= 2*2 \sqrt{3}+3*3 \sqrt{3}=4 \sqrt{3}+9 \sqrt{3}=13 \sqrt{3} |
(\sqrt[6]{a}-1)(\sqrt[6]{a}+1)=(\sqrt[6]{a})^2 - 1^2= \sqrt[3]{a}-1 |
4 Розкладання на множники
| a-1=(\sqrt{a})^2 - 1^2= (\sqrt{a} - 1)(\sqrt{a}+1) | a-1=(\sqrt[3]{a})^3 - 1^3=(\sqrt[3]{a}-1)(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{a}+1) |
5 Скорочення дробів
|
\dfrac{{\sqrt{a} - \sqrt{b}}}{a-b}= \dfrac{{\sqrt{a} - \sqrt{b}}}{(\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2}= \dfrac{{\sqrt{a} - \sqrt{b}}}{(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})}=\dfrac{{1}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} |
\dfrac{{\sqrt{a} - 1}}{\sqrt[4]{a}-1}=\dfrac{{(\sqrt[4]{a})^2-1^2}}{\sqrt[4]{a}-1}= \dfrac{{(\sqrt[4]{a}-1)(\sqrt[4]{a}+1)}}{\sqrt[4]{a}-1}= \sqrt[4]{a}+1 |
6 Звільнення від ірріціональності в знаменнику дробу
| \dfrac{6}{\sqrt{2}}=\dfrac{{6\sqrt{2}}}{\sqrt{2}\sqrt{2}}=\dfrac{{6\sqrt{2}}}{2}=3\sqrt{2} | \dfrac{{6}}{\sqrt[4]{8}}=\dfrac{{6}}{\sqrt[4]{2^3}}=\dfrac{{6 \sqrt[4]{2}}}{\sqrt[4]{2^3} \sqrt[4]{2}}=\dfrac{{6 \sqrt[4]{2}}}{\sqrt[4]{2^4}}=3 \sqrt[4]{2} |
|
\dfrac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}=\dfrac{{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5+\sqrt{3}})}= \dfrac{{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}}{(\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2}=\dfrac{{2(\sqrt{5}+\sqrt{3})}}{2}=\sqrt{5}+\sqrt{3} |
Скачай теоретичний матеріал, щоб він завжди був під рукою.