Стереометрія в завданнях НМТ. Частина 1
Скачай завдання для самостійного опрацювання.
Скачай відповіді для самоперевірки
Завдання для самостійного опрацювання.
Тема «”Стереометрія в завданнях НМТ»
Завдання 60-87 дивись за посиланням
1. На рисунку зображено куб ABCDA1B1C1D1. Укажіть пряму, яка паралельна площині AA1B1B. 
| А | Б | В | Г | Д |
| AD | AС | C1D | B1D | A1C1 |
2. На рисунку зображено куб ABCDA1B1C1D1. Укажіть пряму, яка перетинає площину ABC.
| А | Б | В | Г | Д |
| AB | AC | B1D | B1C | A1C1 |
3. На рисунку зображено куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Укажіть пряму перетину площин BB₁C₁ і CDD₁.
| А | Б | В | Г | Д |
| B₁C | CC₁ | B₁D₁ | CD | DD₁ |
4. На рисунку зображено прямокутний паралелепіпед ABCDA₁B₁C₁D₁. Яка з наведених прямих лежить в одній площині з прямою CC₁? 
| А | Б | В | Г | Д |
| AB | DB₁ | A₁D₁ | BD | A₁A |
5. На рисунку зображено пряму чотирикутну призму ABCDA₁B₁C₁D₁. Укажіть пряму, яка паралельна грані AA₁D₁D.
| А | Б | В | Г | Д |
| C₁D | A₁B | CB₁ | C₁D₁ | BD |
6. На рисунку зображено трикутну піраміду SABC, O – центр кола, вписаного у трикутник ABC. Укажіть площину, яка може проходити через OB та точку A. 
| А | Б | В | Г | Д |
| ASB | ASC | BSC | ASO | ABC |
7. На рисунку зображено трикутну піраміду SABC, точка M належить ребру AB. Укажіть лінію перетину площин SMC і ABS. 
| А | Б | В | Г | Д |
| SM | AB | AC | BC | SC |
8. На рисунку зображено трикутну піраміду SABC з основою ABC. Точка M – середина ребра AB. Укажіть пряму, що лежить у площині SCM.
| А | Б | В | Г | Д |
| SM | AM | BC | SA | SC |
Стереометрія в завданнях НМТ. Завдання 1-8. Пояснення. Розв’язок
9. У прямокутній системі координат у просторі точка N лежить на координатній осі z (див. рисунок). Укажіть можливі координати середини відрізка ON. 
| А | Б | В | Г | Д |
| (0; 0; 5) | (0; 0; –5) | (5; 0; 0) | (0; 5; 0) | (5; 0; 5) |
10. Яка з наведених точок лежить у координатній площині уZ прямокутної системи координат у просторі
| А | Б | В | Г | Д |
| (–2; 5; 0) | (–2; 5; 2) | (2; 0; 0) | (2; 0; –5) | (0; 2; –5) |
11. У прямокутній системі координат у просторі задано точку A(–2; 4; –3). Укажіть координати точки, що є проекцією точки A на вісь Z.
| А | Б | В | Г | Д |
| (0; 4; –3) | (0; 0; –3) | (–2; 4; 0) | (–2; 0; 0) | (0; 4; 0) |
12. У прямокутній системі координат у просторі задано точку O(0; 0; 0). Укажіть з-поміж наведених точку, відстань від якої до точки O є найменшою.
| А | Б | В | Г | Д |
| (0; 4; 0) | (0; 3; –4) | (–5; 0; 0) | (1; 3; 0) | (3; 0; –3) |
13. Сфера з центром у точці O(–2; –4; 3) проходить через точку A(3; –1; 2). Визначте діаметр цієї сфери.
| А | Б | В | Г | Д |
| \sqrt{35} | 3 \sqrt{3} | 2 \sqrt{51} | 6 \sqrt{3} | 2 \sqrt{35} |
Стереометрія в завданнях НМТ. Завдання 9-13. Пояснення. Розв’язок
14. Визначте координати вектора \vec{KL} , якщо K(3; 2; 4), а L(–1; 2; 0).
| А | Б | В | Г | Д |
| (4; 0; 4) | (–4; 0; –4) | (–2; 0; –2) | (1; 2; 2) | (2; 4; 4) |
15. У прямокутній системі координат у просторі задано точки K та N, що лежать на координатній осі y (див. рисунок). Укажіть можливі координати вектора KN. 
| А | Б | В | Г | Д |
| (0; 0; 4) | (4; 0; 0) | (0; 4; 0) | (4; –4; 0) | (0; –4; 0) |
16. У прямокутній системі координат у просторі точка N лежить на координатній осі y (див. рисунок). Укажіть можливі координати вектора \vec{ON}. 
| А | Б | В | Г | Д |
| (4; -4; 0) | (0; 4; 0) | (–4; 0; 0) | (4; 0; 0) | (0; 0; 4) |
17. Визначте координати вектора, який є сумою векторів \vec{a} (2; –2; 3) і \vec{b} (–7; –3; 4).
| А | Б | В | Г | Д |
| (–5; –1; 7) | (–9; –1; 1) | (–5; –5; 7) | (9; 1; –1) | (–5; –1; 7) |
18. Визначте координати вектора \vec{c}= \vec{a}- \vec{b}, якщо \vec{a} (3; 5; 7) і \vec{b} (2; –4; 8).
| А | Б | В | Г | Д |
| \vec{c} (5; 1; 15) | \vec{c} ( –4; –9;1) | \vec{c} (–1; –9; 1) | \vec{c} (1; 1; –1) | \vec{c} (1; 9; –1) |
19. Визначте координати вектора \vec{c}= - \vec{b}- \vec{a}, якщо \vec{a} (2; 1; –5) і – \vec{b} (–7; 0; 3).
| А | Б | В | Г | Д |
| \vec{c} (9; 1; –8) | \vec{c} ( –5; 1; –2) | \vec{c} (–9; –1; 8) | \vec{c} (–14; 0; –15) | \vec{c} (–5; –1; 2) |
20. Доберіть закінчення речення так, щоб утворилося правильне твердження: «Бічною гранню правильної чотирикутної піраміди є…»
| А | Б | В | Г | Д |
| квадрат. | рівнобедрений трикутник. | прямокутний трикутник. | паралелограм. | прямокутник. |
21. Укажіть многогранник, що має одну грань основи та чотири бічні грані.
| А | Б | В | Г | Д |
| трикутна призма | чотирикутна призма | п’ятикутна призма | трикутна піраміда | чотирикутна піраміда |
22. Укажіть формулу для обчислення площі S бічної поверхні правильної чотирикутної призми, сторона основи якої дорівнює а, а висота – 2а.
| А | Б | В | Г | Д |
| S = 6a² | S = 8a3 | S = 12a² | S = 4a² | S = 2a3 |
23. Укажіть формулу для обчислення об’єму V правильної чотирикутної піраміди, сторона основи й висота якої дорівнюють a.
| А | Б | В | Г | Д |
| V=\dfrac{{a^3}}{4} | V=a^3 | V=\dfrac{{a^3}}{3} | V= \sqrt{5} a^2 | V=\sqrt{3} a^2 |
24. Укажіть формулу для обчислення площі S бічної поверхні правильної чотирикутної піраміди, сторона основи й апофема якої дорівнюють a.
| А | Б | В | Г | Д |
| S=a^4 | S=2a^2 | S=4a^2 | S=\dfrac{{a^2}}{2} | S=6a^2 |
25. Основою трикутної піраміди є рівнобедрений прямокутний трикутник із катетом a. Укажіть формулу для обчислення об’єму V цієї піраміди, якщо її висота дорівнює катету основи.
| А | Б | В | Г | Д |
| V=\dfrac{{a^3}}{3} | V=\dfrac{{a^3}}{2} | V=\dfrac{{a^3}}{4} | V=\dfrac{{a^3}}{6} | V=a^3 |
Стереометрія в завданнях НМТ. Завдання 14-25. Пояснення. Розв’язок
26. Визначте об’єм правильної чотирикутної піраміди, площа основи якої дорівнює 36 см², а висота дорівнює стороні основи.
| А | Б | В | Г | Д |
| 36 см³ | 72 см³ | 144 см3 | 432 см³ | 216 см³ |
27. Площа основи трикутної піраміди дорівнює площі квадрата зі стороною 5 см. Визначте об’єм піраміди, якщо вершина віддалена на 24 см від площини основи.
| А | Б | В | Г | Д |
| 600 см³ |
300 см³ | 160 см3 | 200 см³ | 480 см³ |
28. Основою чотирикутної піраміди є ромб зі стороною 10 см. Менша діагональ ромба дорівнює 12 см. Знайдіть об’єм цієї піраміди, якщо її висота дорівнює стороні основи.
| А | Б | В | Г | Д |
| 640 см³ | 1200 см³ | 480 см3 | 960 см³ | 320 см³ |
29. В основі чотирикутної піраміди лежить ромб з діагоналями 12 см і 20 см. Знайдіть об’єм цієї піраміди, якщо її висота дорівнює 15 см.
| А | Б | В | Г | Д |
| 1600 см³ | 1200 см³ | 800 см³ | 600см³ | 1800см³ |
30. В основі прямої чотирикутної призми лежить прямокутник зі сторонами 6 см та 8 см, а висота призми дорівнює діагоналі основи. Знайдіть об’єм цієї призми.
| А | Б | В | Г | Д |
| 280 см³ | 360 см³ | 480см3 | 720см³ | 160см³ |
Стереометрія в завданнях НМТ. Завдання 26-30. Пояснення. Розв’язок
31. Сторони основи прямої трикутної призми дорівнюють 5 см, 6 см, 7 см. Знайдіть висоту цієї призми, якщо площа її бічної поверхні дорівнює 144 см².
| А | Б | В | Г | Д |
| 4см | 8 см | 9см | 12см | 16см |
32. Знайдіть площу бічної поверхні прямої призми, в основі якої лежить ромб зі стороною 5 см, а діагональ її бічної грані дорівнює 13 см.
| А | Б | В | Г | Д |
| 120 см2 | 260 см2 | 300см2 | 240см2 | 130см2 |
33. Знайдіть площу бічної поверхні правильної шестикутної призми, сторона основи якої дорівнює 5 см, а висота призми – 4 см.
| А | Б | В | Г | Д |
| 50 см2 | 60 см2 | 80см2 | 100см2 | 120см2 |
34. В основі прямої трикутної призми лежить прямокутний трикутник зі сторонами 3 см, 4 см, 5 см. Знайдіть площу повної призми, якщо її висота дорівнює 6 см.
| А | Б | В | Г | Д |
| 60 см2 | 72 см2 | 84см2 | 36см2 | 96см2 |
35. Обчисліть площу бічної поверхні правильної трикутної піраміди, сторона основи якої дорівнює 8 см, а апофема на 2 см більша за сторону основи піраміди.
| А | Б | В | Г | Д |
| 120 см2 | 240 см2 | 192см2 | 72см2 | 384см2 |
36. Укажіть формулу, за якою визначається площа S повної поверхні правильної чотирикутної піраміди, сторона основи якої і апофема дорівнюють а.
| А | Б | В | Г | Д |
| S=a^3 | S=6a^2 | S=8a^2 | S=5a^2 | S=4 a^2 |
Стереометрія в завданнях НМТ. Завдання 31-36. Пояснення. Розв’язок
37. Доберіть закінчення речення так, щоб утворилося правильне твердження: «Висота конуса та його твірна лежать на прямих, що…»
| А | Б | В | Г | Д |
| лежать в одній площині. | паралельні. | не мають спільних точок. | перпендикулярні. | мимобіжні. |
38. Укажіть тіло, яке отримується внаслідок обертання фігури, у якої твірні паралельні осі обертання.
| А | Б | В | Г | Д |
| сфера | конус | куля | циліндр | призма |
39. Укажіть геометричне тіло, яке утворене внаслідок обертання прямокутного трикутника з меншим катетом 10 см навколо прямої a (див. рисунок). 
| А | Б | В | Г | Д |
| циліндр із твірною 10 см | циліндр із радіусом основи 10 см | конус із твірною 10 см | конус із радіусом основи 10 см | конус із висотою 10 см |
40. Укажіть геометричне тіло, яке утворено внаслідок обертання прямокутника з меншою стороною 8 см навколо прямої a (див. рисунок). 
А: циліндр із діаметром основи 8 см
Б: конус із висотою 8 см
В: конус із радіусом основи 8 см
Г: циліндр із висотою 8 см
Д: циліндр із радіусом основи 8 см
41. Знайдіть площу бічної поверхні циліндра, висота якого дорівнює 9 см, а площа основи – 16π см².
| А | Б | В | Г | Д |
| 96 π см2 | 144 π см2 | 48 π см2 | 36 π см2 | 72 π см2 |
42. Точки A та B лежать на сфері, причому AB = 10 см (див. рисунок). Укажіть із-поміж наведених найменше можливе значення радіуса цієї сфери. 
| А | Б | В | Г | Д |
| 4 см | 3см | 6 см | 11 см | 8 см |
43. Обчисліть об’єм півкулі радіуса 9 (див. рисунок). 
| А | Б | В | Г | Д |
| 486π | 243π | 324π | 162π | 972π |
Стереометрія в завданнях НМТ. Завдання 37-43. Пояснення. Розв’язок
44. Визначте площу бічної поверхні циліндра, довжина кола основи якого дорівнює 16π см, а твірна дорівнює 15 см.
| А | Б | В | Г | Д |
| 240 π см2 | 960 π см2 | 60 π см2 | 368 π см2 | 120 π см2 |
45. Діаметр основи конуса дорівнює 12 см. Знайдіть площу бічної поверхні конуса, якщо його висота на 2 см більша за радіус основи.
| А | Б | В | Г | Д |
| 96 π см2 | 60 π см2 | 72 π см2 | 36 π см2 | 48 π см2 |
46. Укажіть формулу для обчислення площі S бічної поверхні циліндра, висота й радіус основи дорівнюють R.
| А | Б | В | Г | Д |
| S=\pi R^3 | S=\dfrac{{\pi R^3}}{3} | S= \pi R^2 | S=2 \pi R^2 | S=\dfrac{{\pi R^2}}{3} |
47. Визначте площу повної поверхні циліндра, радіус основи якого дорівнює 4 см, а висота дорівнює 6 см.
| А | Б | В | Г | Д |
| 64π см2 |
40π см2 | 144π см2 | 56π см2 | 80π см2 |
48. Укажіть формулу для обчислення об’єму V конуса, радіус основи якого дорівнює R, а висота конуса – 6R.
| А | Б | В | Г | Д |
| V = 6πR³ | V = 12πR³ | V = 6πR² | V = 2πR3 | V = 12πR² |
49. Укажіть формулу для обчислення об’єму V конуса, радіус якого і висота дорівнюють R.
| А | Б | В | Г | Д |
| V=\dfrac{{\pi R62}}{3} | V= \pi R^3 | V- \sqrt{2 \pi R^3} | V=\dfrac{{\pi R^3}}{3} | V= \pi R^2 |
50. Укажіть формулу для обчислення об’єму V циліндра, радіус якого і висота дорівнюють R.
| А | Б | В | Г | Д |
| V=\dfrac{{\pi R^3}}{3} | V=\pi R^3 | V={\pi R^2}3 | V=\pi R^2 | V=\pi R^3 |
51. Основою прямої призми є паралелограм зі сторонами 8 і 15 та гострим кутом 60°. Висота призми дорівнює 20. Визначте площу меншого діагонального перерізу призми.
Стереометрія в завданнях НМТ. Завдання 44-51. Пояснення. Розв’язок
52. Діагональним перерізом правильної чотирикутної призми є квадрат площею 64. Знайдіть об’єм цієї призми.
53. Основою прямої призми є ромб із гострим кутом 60°. Площа меншого діагонального перерізу призми дорівнює 140√3. Визначте об’єм призми, якщо її висота дорівнює 7√3.
54. Основою прямої призми є паралелограм зі сторонами 8 і 15 та гострим кутом 60°. Площа меншого діагонального перерізу призми дорівнює 260. Визначте об’єм V цієї призми. У відповіді запишіть значення \dfrac{V}{\sqrt{3}}
Стереометрія в завданнях НМТ. Завдання 52-54. Пояснення. Розв’язок
55. Основою прямої призми є ромб зі стороною 20. Периметр одного з діагональних перерізів призми дорівнює 58. Визначте об’єм цієї призми, якщо її висота дорівнює 5.
56. Основою прямої призми є ромб із гострим кутом 60°. Площа більшого діагонального перерізу призми дорівнює 240√3. Обчисліть об’єм призми, якщо її висота дорівнює 8√3.
Стереометрія в завданнях НМТ. Завдання 55-56. Пояснення. Розв’язок
57. Основою прямої призми є ромб із гострим кутом 60°. Висота призми дорівнює 8√3, площа її більшого діагонального перерізу — 240√3. Визначте площу бічної поверхні цієї призми.
58. Основою прямої призми є ромб, діагоналі якого дорівнюють 6 і 6√3. Більша діагональ призми нахилена до площини основи під кутом 30°. Визначте площу бічної поверхні призми.
59. Основою прямої призми є ромб з діагоналями 20 та 8√3. Більша діагональ призми нахилена відносно площини основи під кутом 30° до її основи. Знайдіть об’єм цієї призми.
Стереометрія в завданнях НМТ. Завдання 57-59. Пояснення. Розв’язок
Скачай завдання для самостійного опрацювання.
Скачай відповіді для самоперевірки