Параметри в тригонометрії. НМТ-2024 з математики. Завдання 1

Завдання 1. Знайдіть суму цілих значень параметра а при яких рівняння 2\sqrt{2} \sin x \cos x +2\sqrt{2} \cos^2 x - \sqrt{2}=\dfrac{{4a-15}}{a+1} має розв’язки.

Параметри в тригонометрії. НМТ-2024 з математики. Завдання 2
Завдання 2. Знайдіть найменше значення параметра а при якому рівняння \sqrt{12} \sin 2x - 2 \cos 2x=7-9a-2a^2 має розв’язки.

Параметри в тригонометрії. НМТ-2024 з математики. Завдання 3-6
Завдання 3. Знайдіть всі значення параметра а при яких рівняння \sin 2x - (a+2)(\sin x+\cos x)+2a +1=0 має розв’язки. У відповідь записати суму цілих значень параметра а.
Завдання 4. За яких значень параметра а рівняння \sin^4 x + \cos^4 x=a має корені. У відповідь записати найменший з них.
Завдання 5. За якого найменшого значення параметра а рівняння 2\cos 4x = a-5 має корені.
Завдання 6. Знайдіть всі значення параметра а при яких рівняння (a+3)\sin x=a^2 -9 має корені. У відповідь записати суму цілих значень параметра а.

Параметри в тригонометрії. НМТ-2024 з математики. Завдання 7
Завдання 7. Знайдіть всі значення параметра а з проміжку aϵ [-\dfrac{{\pi}}{2}; \dfrac{{3\pi}}{2}] для кожного яких нерівність \sin^2 x+\cos^2 (x-a)\geq \dfrac{3}{4} {sinx \sin a \cos(x-a)}виконується для всіх х. У відповідь записати найбільше значення параметра з цього проміжку у градусах.

Параметри в тригонометрії. НМТ-2024 з математики. Завдання 8-9
Завдання 8. Знайти найбільше ціле значення параметра а при якому рівняння \sqrt{3} \sin 2x+2\cos^2 x=a^2 - 3a-1 має розв’язки.
Завдання 9. Визначте всі значення параметра а за яких рівняння \sin^2 2x +(\dfrac{1}{2} -a) \sin 2x- \dfrac{a}{2}=0має рівно три корені, що належать відрізку xϵ [- \dfrac{{\pi}}{3}; \dfrac{{2 \pi}}{3}] . У відповідь запишіть суму цілих значень параметра а.

Параметри в тригонометрії. НМТ-2024 з математики. Завдання 10-13
Завдання 10. Знайдіть всі значення параметра а при яких рівняння a \sin 2a=a^2 - 2a має корені. У відповідь запишіть суму цілих значень параметра а.
Завдання 11. Знайдіть всі значення параметра а при яких має розв’язки рівняння \sin^2 x +(1-a) \sin x-4(a+3)=0. У відповідь запишіть суму цілих значень параметра.
Завдання 12. Знайдіть найменше значення а при якому має розв’язки рівняння \dfrac{1}{2} (\sin x - \sqrt{3} \cos x )=a^2 - a - 1.
Завдання 13. Знайдіть найбільше значення а при якому рівняння \sin^4 3x - \cos^2 3x=a має корені.

Параметри в тригонометрії. НМТ-2024 з математики. Завдання 14-17
Завдання 14. Знайти суму цілих значень параметра а при яких рівняння 3+2 \cos^2 x=a має розв’язки
Завдання 15. Знайдіть всі значення параметра а при яких рівняння 5 \sin x+24 \cos^2 {x/2}=a має розв’язки, якщо їх декілька у відповідь запишіть їх суму.
Завдання 16. Знайти при яких значеннях параметра а має розв’язки рівняння \sin^2 x- \sin x+a^2 -a - \dfrac{1}{2}=0.
Завдання 17. Знайти при яких значеннях параметра а має розв’язки рівняння \cos x+\cos 5x=a^2 - a +3

Параметри в тригонометрії. НМТ-2024 з математики. Завдання 18-19
Завдання 18. Знайдіть при яких значеннях параметра а має розв’язки рівняння \sin^4 x - 2(a-1) \sin^2 x -2a+1=0. У відповідь записати кількість цілих значень параметра.
Завдання 19. Визначити при яких значеннях параметра а рівняння \sin^2 x - (a-{\sqrt{2}/2})\sin x+\dfrac{{a \sqrt{2}}}{2}=0 має на проміжку [0;\dfrac{{4\pi}}{3}] три кореня. У відповідь запишіть найбільше ціле значення параметра.

Параметри в тригонометрії. НМТ-2024 з математики. Завдання 20-21
Завдання 20. При яких значеннях параметра а дане рівняння (x-a)(\operatorname{tg} x-1)=0 має єдиний корінь на проміжку (0; \dfrac{\pi}{2}]. У відповідь запишіть найменше ціле додатне значення параметра.
Завдання 21. Знайдіть найменше значення параметра за якого має розв’язки рівняння \sin x \cos x=a^2 +2,5a-3 має корені.

Параметри в тригонометрії. НМТ-2024 з математики. Завдання 22-24
Завдання 22. Знайдіть найбільше значення параметра а за якого рівняння(2a-3) \sin^2 3x=4a-4 має розв’язки.
Завдання 23. Знайдіть кількість усіх цілих значень параметра m за яких має корені рівняння \cos^2 {x/2}- \sin^2 {x/2}=\dfrac{{m^2 - 1}}{3}
Завдання 24. Знайдіть найбільше значення параметра а за якого має розв’язки рівняння \sin 5x - \cos 5x=\sqrt{2}(a+4)