" /> Посібник "Подібні трикутники

logo 1x facebook_sm

Якийсь математик сказав, що насолода не у відкритті істини, але в шуканні її. Л.М.Толстой.

Посібник "Подібні трикутники"



В посібнику присутні завдання для самостійних робіт, тестові завдання. Тематичні роботи пропонуються у 4 варіантах рівноцінних за складністю. Завдання охоплюють усі положення теми, що вивчається. Присутні конспект уроку-гри, презентації, які можуть бути використані на різних етапах при вивченні даної теми.
Призначений для учнів і вчителів. Може бути використаний при підготовці до ЗНО.

 Зміст

1. Вступ………………………………………………………………………..3
2. Основні теоретичні відомості……………………………………………..4
3. Консультативні завдання………………………………………………….6
4. Опорні задачі……………………………………………………………....9
5. Завдання з підказкою……………………………………………………..14
6. Відповіді…………………………………………………………………..16
7. Підказки…………………………………………………………………...17
8. Задачі для самостійного розв’язання……………………………………19
9. Завдання підвищеної складності………………………………………...27
10. Тести………………………………………………………………………29
11. Самостійні роботи………………………………………………………..34
12. Тематичні роботи………………………………………………………...36
13. Урок- гра « Шанс»………………………………………………………..44
Література ……………………………………………………………………47
Додатки……………………………………………………………………….48

Вступ

Посібник містить матеріали по темі «Подібність трикутників». Матеріал посібника охоплює основний теоретичний матеріал з даної теми, систему консультативних і опорних задач. Для роботи учнів пропонуються набори задач, які супроводжуються підказками, що дає змогу засвоїти дану тему на належному рівні, працюючи самостійно. Велика кількість задач пропонуються для самостійного розв’язання. Більшість з них була використана в екзаменаційних матеріалах останніх років.
В посібнику присутні завдання для самостійних робіт, тестові завдання. Тематичні роботи пропонуються у 4 варіантах рівноцінних за складністю. Завдання охоплюють усі положення теми, що вивчається. Присутні конспект уроку-гри, презентації, які можуть бути використані на різних етапах при вивченні даної теми.
Призначений для учнів і вчителів. Може бути використаний при підготовці до ЗНО.

Основні теоретичні відомості

Означення. Два трикутники називаються подібними, якщо їх відповідні кути рівні, а відповідні сторони пропорційні.
Зверніть увагу!
При позначенні подібних трикутників стежте за тим, щоб у назвах подібних трикутників вершини відповідних рівних кутів стояли на однакових місцях.

Ознаки подібності трикутників:
1. Якщо три сторони одного трикутника пропорційні трьом сторонам другого трикутника, то такі трикутники подібні.
2. Якщо дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам другого трикутника і кути між цими сторонами рівні, то такі трикутники подібні.
3. Якщо два кути одного трикутника дорівнюють двом кутам другого трикутника, то такі трикутники подібні.

Ознаки подібності прямокутних трикутників:
За гострим кутом. Якщо прямокутні трикутники мають по рівному гострому куту, то такі трикутники подібні. У прямокутного трикутника один кут прямий, тому для подібності двох прямокутних трикутників досить, щоб у них було по рівному гострому куту.
За двома пропорційними катетами. Якщо катети одного прямокутного трикутника пропорційні катетам другого прямокутного трикутника, то такі трикутники подібні.
За пропорційними катетом і гіпотенузою. Якщо катет і гіпотенуза одного прямокутного трикутника пропорційні катету і гіпотенузі другого прямокутного трикутника, то такі трикутники подібні.
Зверніть увагу! Висота прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, ділить його на два трикутники, подібні один одному і подібні даному трикутнику.

Застосування подібності трикутників.
Метричні співвідношення в прямокутному трикутнику.
1. Висота, проведена до гіпотенузи, є середнім пропорційним між проекціями катетів на гіпотенузу.
2. Катет є середнім пропорційним між гіпотенузою і його проекцією на гіпотенузу.
3. Висота, проведена до гіпотенузи, дорівнює добутку катетів, поділеному на гіпотенузу.

Властивість бісектриси трикутника.
Бісектриса трикутника ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні прилеглим до них сторонам.
Метричні співвідношення у колі.
4. Добутки відрізків хорд, що перетинаються, рівні.
5. Добуток січної на її зовнішню частину дорівнює квадрату відрізка дотичної, проведеної з тієї самої точки.
Відношення площ подібних трикутників дорівнює квадрату коефіцієнта подібності трикутників.

Консультативні завдання

56

1. АВ//СD.

Довести, що ∆АВО~∆DОС.

Доведення. Розглянемо ∆АВО і ∆DОС. АОВ=__, як ___, так як АВ//СD,ВС- січна, то АВО=__, як ___. ∆АВО~∆DОС за ___.

 

2. Дано два подібні трикутники. Сторони одного з них 12см, 8см і 6см, менша сторона другого 24см. Знайти інші сторони другого.

Розв’язання. Нехай ΔАВС~ΔА1В1С1 з коефіцієнтом подібності k, АВ=12см, ВС=8см, АС=6см, тоді А1В1=12kсм, В1С1=__см, А1С1=__см. Так як А1С1=24см , то 6 k =24, k=__. Звідки В1С1=__см, А1С1=__см.
Відповідь. 24см, 32см.

3-9 ...

Опорні задачі

Задача 1. Сторони трикутника дорівнюють 10см, 15см і 20см. Знайти сторони подібного йому трикутника, периметр якого дорівнює 135см.

Розв’язання
Нехай ΔАВС~ΔА1В1С1 з коефіцієнтом подібності k, тоді А1В1=10kсм, В1С1=15kсм, А1С1=20kсм. Периметр трикутника (10k+15k+20k) см. Тому 10k+15k+20k=135, 45k=135, k=3. Звідки А1В1=30см, В1С1=45см, А1С1=60см.
Відповідь: 30см, 45см, 60см.

Задача 2. Пряма, яка паралельна стороні АВ трикутника АВС, перетинає сторони СА і СВ цього трикутника у точках М і К відповідно. АВ=15см, МК=6см, АМ=3см. Знайти довжину сторони АС.

Задача 3-10...

Завдання з підказкою

1. Сторони трикутника дорівнюють 4 м; 6 м; 7 м. Більша сторона подібного йому трикутника дорівнює 14см. Знайти периметр другого трикутника.
2. Продовження бічних сторін АВ і CD трапеції АВСD перетинаються в точці О. Знайти АВ, якщо АО=18см, ВС:AD=5:9.
3. Точка О – точка перетину діагоналей АС і ВD трапеції АВСD
( ВС//AD) . Знайти довжини відрізків ВО і ОD, якщо АО:ОС=7:6 і ВD=39см.
4. У трикутник АВС вписано ромб CDEF так, що кут С спільний, а точка Е належить стороні АВ трикутника. Знайти сторону ВС трикутника, якщо АС=15см, а сторона ромба дорівнює 10см

5-14 ...

Відповіді
1. 34см.
2. 10см.
3. 18см і 21см.
4. 30см
5. 20см

Підказки
1. Див. опорну задачу 1. Знайти коефіцієнт подібності..
2. Див. опорну задачу 2. ΔАОD~ΔВОС. AO/BO=AD/BC
3. Див. опорну задачу 3. ΔАОD~ΔСОВ. AO/OC=OD/BO
4. Див. опорну задачу 4. ΔАВС~ΔЕВD. ED/AC=BD/BC

Задачі для самостійного розв’язання

1. Сторони трикутника відносяться як 6:7:8. Знайти периметр подібного йому трикутника, середня за довжиною сторона якого дорівнює 21см.
2. На одній із сторін даного кута А відкладені відрізки АВ = 5 см і АС = 16 см. На іншій стороні цього ж кута відкладені відрізки AD = 8 см і AF = 10 см. Чи подібні трикутники ACD і AFB?
3. Чи подібні трикутники, сторони яких дорівнюють 2 дм; 5 дм; 6 дм і
4 см; 10 см; 12 см?

5-89...

Завдання підвищеної складності

1. Через точку перетину діагоналей трапеції проведено пряму, яка паралельна основам і перетинає бічні сторони трапеції в точках М і К. Знайти МК, якщо основи трапеції дорівнюють a і b.
2. На хорді АВ позначено точку М. Довести, що МА∙МВ=R2-d2, де R- радіус кола, d – відстань від точки М до центра кола.
3. Висоти АА1, ВВ1 і СС1 гострокутного трикутника перетинаються в точці Н. Довести, що АН∙НА1=ВН∙НВ1=СН∙НС1.

4-10...

Тести

1. У трикутниках АВС і КМР відомо, що А=К, В=М, АВ=12см, ВС=20см, КМ=3см. Знайти довжину відрізка МР.
А) 4см; б) 6см; в) 5см; г) неможливо визначити.

2-29 ...

Самостійні роботи

Самостійна робота 1.

Варіант 1.
1.Трикутник АВС подібний трикутнику МКР. АВ=20см, ВС=18см, АС=12см. МР=6см. Знайти периметр трикутника МКР.
2.Гострий кут одного прямокутного трикутника 34º, а другого – 66º. Чи подібні ці трикутники?
3.Чи подібні трикутники, якщо їхні сторони мають довжини 3см, 4см,5см і 9мм,12мм,15мм?

4-5 ...

Варіант 2.

Самостійна робота 2.

Тематичні роботи . Подібність трикутників.

Варіант 1.
1. (0,5 бала) Вибрати невірне твердження:
а) бісектриса трикутника ділить протилежну сторону на відрізки пропорційні двом іншим сторонам;  б)якщо кут одного трикутника дорівнює кутові другого, то такі трикутники подібні; в) якщо сторони одного трикутника пропорційні сторонам другого, то такі трикутники подібні; г)  висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, є середнім пропорційним між проекціями катетів на гіпотенузу

2. (0.5 бала) Точка А поділяє відрізок ВС у відношенні 2:3. Знайти АС, якщо ВС=15см.
а) 12см; б)  5см;  в) 9см;  г) 6см

3. (0,5 бала) Визначити які з трикутників подібні, якщо сторони їх дорівнюють
а) 4см, 6см, 9см і 12см, 18см,27см;    б)  3см, 5см, 6см і 7см, 10см, 12см;   в)  5см, 4см, 5см і 15см, 12см, 25см;   г) 10см, 13см, 17см і 5см, 6,5см, 9см

4. (0,5 бала) Що являє собою фігура, подібна трикутнику?
а) паралелограм   б) трикутник   в) коло    г)трапеція

5.(За кожну відповідність 0,5 бала) Установити відповідність між елементами фігур ( 1-4) і їх числовими значеннями ( А-Д).

1 Трикутники АВС і MNK подібні. АВ=2см, ВС=4см, АС=5см, МК=10см. Знайти периметр трикутника MNK                                   А ) 15см
2 Бісектриса АМ трикутника АВС поділяє сторону ВС на відрізки ВМ=4см, МС=3см. Сторона АВ=20см. Знайти сторону АС.          Б 22см
3 У колі проведено хорди АВ і СК, які перетинаються в точці Р. Знайти довжину відрізка РК, якщо РВ=4см, СР=7см, АР=21см.    В 8см
4 Знайти висоту прямокутного трикутника, проведену з вершини прямого кута, якщо вона ділить гіпотенузу на відрізки 4см і 16см.   Г 10см
                                                                                                                      Д 12см

6.(1 бал ) Сторони трикутника відносяться як 7:2:6. Знайти середню сторону подібного трикутника, різниця найбільшої і найменшої сторін якого 15см.

7. (2 бали) А Р На рисунку АВС=ВРК, С В К АСВ=ВКР=90°.АС=12см,  СВ=10см,ВК=9см. Знайти РК.

8. (2 бали) Сторони паралелограма дорівнюють 15см і 30см, а відстань між меншими сторонами дорівнює 40см. Знайти відстань між більшими сторонами паралелограма.

9. (3 бали) Продовження бічних сторін АВ і СD трапеції АВСD перетинаються в точці К, DC:CK=2:5. ВС - менша основа трапеції. Знайти основи трапеції, якщо їх сума дорівнює 24см.

Варіант 2.

Варіант 3.

Варіант 4.

Урок-гра. « Шанс »

Мета: повторити, систематизувати та узагальнити знання учнів про подібність трикутників; відпрацювати та вдосконалити вміння і навички щодо застосування теоретичних відомостей для розв’язання задач.

Тип уроку: систематизація та узагальнення знань.
Обладанання. До уроку надається презентація.

Хід уроку.
І. Актуалізація опорних знань. « Ти мені – я тобі »
Клас розділений на команди ( дві чи три)
Учні команд по черзі задають запитання з теми, називаючи того, хто повинен відповідати. За вірні відповіді командам нараховуються бали.
ІІ. Розминка « Далі, далі…»
Знайти подібні трикутники .

Додатки
1. Ознаки подібності трикутників. Презентація.
2. Опорні задачі. Презентація.
3. Подібні трикутники. Задачі за готовими малюнками. Презентація.
4. Знайти подібні трикутники. Презентація.
5. Геометрія Я.І. Перельмана. Презентація.
6. Задачі практичного змісту. Презентація.
7. Математичні змагання. Презентація.
8. Гра «Шанс». Презентація.

Для перегляду та скачування всього матеріалу скористайтесь кнопкою нижче.

Інші матеріали в цій категорії: Презентація "Математичне змагання" »

Наверх

Останні оновлення

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4

Математика. 10 клас

серпня 21, 2014

Геометрія 9 клас

серпня 21, 2014

Алгебра 9 клас

серпня 21, 2014

Геометрія 8 клас

серпня 21, 2014

Алгебра 8 клас

серпня 21, 2014

Математика 5 клас

серпня 21, 2014