logo 1x facebook_sm

Якийсь математик сказав, що насолода не у відкритті істини, але в шуканні її. Л.М.Толстой.

Вектори в просторі

Урок 1
Основні поняття про вектори в просторі такі ж які для векторів на площині. Вектор — це напрямлений відрізок, або відрізок для якого визначено напрям його зображують відрізком зі срілкою, що вказує його напрямок. Вектор позначається двома буквами vec{AB}, або однією vec{b}. Вектор в якого збігаються початкова і кінцеві точки називається нульовим вектором, або нуль вектором. Такий вектор напряму не має.
Модулем, довжиною, або абсолютною величиною вектора vec{AB} називають довжину відрізка АВ.
Два не нульових вектора, що лежать на одній прямій, або на паралельних прямих називаються колінеарними векторами.
Два вектори називають рівними якщо вони спів напрямлені і їх модулі між собою рівні.
Протилежні вектори — вектори, що лежать на паралельних прямих, у них довжини рівні, але напрямки векторів різні.
Додавання векторів виконується за двома правилами: правило паралелограма або за правилом трикутника.
Щоб знайти суму двох не колінеарних векторів за правилом паралелограма їх треба відкласти від спільного початку.
Правило трикутника: з довільної точки, наприклад С відкладаємо один вектор з кінця цього вектора відкладаємо другий вектор і далі будуємо вектор початок якого збігається з початком першого вектора, а кінцем з кінцем другого вектора.
Віднімання векторів виконується таким чином: вектори відкладаються з однієї точки, з'єднуємо кінці цих векторів і стрілку ставимо до того вектора від якого віднімаємо.
Множення вектора на число. Добутком не нульового вектора на число називають вектор, довжина якого знаходиться як довжина відповідного вектора помножене на число. Напрямок такого вектора визначається таким чином: якщо множимо на додатне число — напрямок вектора залишається таким самим, якщо на від'ємне — напрямок змінюється. Добуток вектора на - отримуємо нуль вектор. Добуток нульового вектора на число — теж отримуємо нуль вектор.

 

Урок 2
Знайти вектор vec{AB} якщо відомі координати точок А(1;3;-1) та В(-2;4;5) та знайти його довжину.

 

Урок 3
Знайти cуму та різницю векторів, що задані координатами: vec{a}(1;-3;4) та vec{b}(0;7;4).

 

Урок 4
Дано вектори vec{a}(2;-3;4) та vec{b}(-1;6;2) знайти вектор vec{m}=-2vec{a}+3 vec{b}. Знайти довжину вектора vec{delim{|}{m}{|}}

 

Урок 5
Скалярний добуток векторів в просторі визначається так же як і скалярний добуток векторів на площині. Є два способи:
- якщо два вектори задані напрямними відрізками то для знаходження скалярного добутку потрібно добуток довжини цих векторів помножити на cos кута між ними. Кут між векторами визначається коли ці вектори відкладені з однієї точки: vec{a} vec{b}=vec{delim{|}{a}{|}}vec{delim{|}{b}{|}}cos varphi 
- якщо два вектори задані через координати vec{a}11;z1) та vec{b}22;z2), то їх скалярний добуток визначається за формулою: vec{a}*vec{b}=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2 
Знайти скалярні добутк векторів:
vec{delim{|}{a}{|}}=2, vec{delim{|}{b}{|}}=5, кут (vec{a} i vec{b})=1500.
vec{a}(-2;3;1) і vec{b} (-4;-5;2)

 

Урок 6
Дано вектори vec{a}(2;-3;5) та vec{b}(1;2;z) при якому значенні z – vec{a} та vec{b} перпендикулярні.

 

Урок 7.
Дано координати вершин трикутника АВС, А(1;-3;4), В(2;-2;5) та С (3;1;3). Знайдіть косинус кута А цього трикутника та порівняйте знайдений кут з прямим кутом.

 

Урок 8.
Кут між одиничними векторами |а|=|b|=1 кут (а і b)=300. Обчисліть скалярний добуток : (а-2b)(2a+b).

Урок 9.
Відомі довжини векторів vec{delim{|}{a}{|}}=3 і vec{delim{|}{b}{|}}=2 та кут(vec{a} i vec{b})=600. Знайти delim{|}{2 vec{a}-3 vec{b}}{|}
Два способи розв'язування задачі.

 

Урок 10
Знайти cos кута між векторами vec{a}=vec{m}+3vec{n} і vec{b}=2vec{m}-vec{n}, де vec{delim{|}{m}{|}}=vec{delim{|}{n}{|}}=1 — одиничні вектори. Вектори vec{m} та vec{n} — перпендикулярні.

 

Урок 11
Довести, що чотирикутник з вершинами А(6;-2;3), В (1;0;4), С(12;-4;0) та D(9;-6;-1) — є прямокутником.

 

Урок 12
Точка К середина сторони АВ паралелограма АВСD. Виразити вектор vec{MC}-vec{MB} через
вектор vec{BK}=vec{a} , де М — довільна точка простору.

 

Урок 13
Дано рівнобедрений трикутник АВС в якого кут В=1200. Довжина АВ =2sqrt{3}. Обчслити скалярний добуток векторів vec{BA}vec{BC}

 

Урок 14
Вектори vec{AB}(1;-2;2) і vec{BC} (-1;0;-3) — є суміжними сторонами паралелограма АВСD. Знайти кут між діагоналлю АС і стороною СD.

 

Поділитися

Submit to FacebookSubmit to Google PlusSubmit to TwitterSubmit to LinkedIn

Наверх