Реєстрація

Теоретичний матеріал. Основні відомості

1 Грудня, 2022 V. Дробово-раціональні вирази

Скачай теоретичний матеріал, щоб він завжди був під рукою.

Теоретичні відомості. Тема «Дробово-раціональні вирази»

Раціональний вираз – складений зі змінних і чисел за допомогою дій додавання, множення, ділення, піднесення до степеня з цілим показником

Цілий вираз – в раціональному виразі не міститься ділення на змінну/ Наприклад:  5x+1; \dfrac{{3y+4}}{5}

Дробовий вираз – раціональний вираз, що містить ділення на вираз зі змінними. Наприклад: \dfrac{2}{x+1} 

Допустимі значення змінних– всі значення змінних, при яких вираз має числове значення

Область допустимих значень (ОДЗ) – множина всіх допустимих значень виразу (умова: знаменник ≠0). Наприклад: ОДЗ виразу \dfrac{{3x-1}}{x+4} , х-4≠0, х≠- 4 , тобто ОДЗ все числа, крім -4

Дії з дробово-раціональними виразами

1. Скорочення дробу:

  • розкласти чисельник і знаменник дробу на множники
  • поділити чисельник і знаменник на спільні множник

Наприклад: \dfrac{{a^2-9}}{a^2+3a}=\dfrac{{(a-3)(a+3)}}{a(a+3)}=\dfrac{{a-3}}{a}

2. Додавання і віднімання:

  • розкласти знаменники дробів на множники (якщо це можливо)
  • знайти спільний знаменник (вираз складається з усіх різних множників у найвищих степенях, що є у розкладах знаменників)
  • до кожного дробу знайти додатковий множник(поділити спільний знаменник на знаменник дробу)
  • виконати множення чисельників і знаменників на відповідний множник
  • спростити вираз в чисельнику
  • скоротити дріб

Наприклад: \dfrac{{a+5}}{a-5} + \dfrac{{20a}}{25-a^2 }
\dfrac{{a+5}}{a-5} + \dfrac{{20a}}{(5-a)(5+a) }
додатковий множник до першого виразу (а+5), до другого (1)
\dfrac{{(a+5)^2 -20a}}{(a-5)(5+a)} =\dfrac{{a^2+10a+25-20a}}{(a-5)(5+a)} = \dfrac{{a^2-10a+25}}{(a-5)(5+a)}=\dfrac{{(a-5)^2}}{(a-5)(5+a)}= \dfrac{{a-5}}{5+a}

3. Множення:

  • розкласти чисельники і знаменники дробів на множники
  • помножити чисельник дробу на чисельник, знаменник на знаменник 
  • скоротити

Наприклад: {{3a+6}/a} * {{5a}/{a+2}}
\dfrac{{3(a+2)* 5a}}{a(a+2)}=3*5=15
Скорочуємо в чисельнику і знаменнику (а+2) та (а)

4. Ділення

  • розкласти чисельники і знаменники дробів на множники
  • помножити ділене на дріб обернений дільнику
  • скоротити

Наприклад:\dfrac{{4a^2-b^2}}{2a+b} : \dfrac{1}{2a-b} =\dfrac{{(2a-b)(2a+b)(2a-b)}}{(2a+b)1} =(2a-b)^2
Скорочуємо в чисельнику і знаменнику (2а+b)

5. Піднесення до степеня з цілим показником
(\dfrac{A}{B})^n=\dfrac{{A^n}}{B^n}

Наприклад: (\dfrac{{2xy^3}}{3a^4})^2=\dfrac{{2^2 x^2 (y^3)^2}}{3^2 (a^4)^2 }= \dfrac{{4x^2 y^6}}{9a^8}

Скачай теоретичний матеріал, щоб він завжди був під рукою.