Теоретичний матеріал. Основні відомості

Щоб знайти медіану потрібно продовжити медіану 

AC²+BD²=2(AB²+BC²)

Точка D – точка перетину медіан

Властивість 1. Медіани в точці перетину діляться у відношенні 2:1, починаючи від вершини BD:DK= 2:1

Бісектриса – відрізок бісектриси кута трикутника (ділить кут навпіл)

Кут CAD= кут DAB

Властивість 1. Ділить протилежну сторону на відрізки пропорційні прилеглим сторонам трикутника

CD/DB=AB/AC

Щоб знайти бісектрису: AD²=AB*AC – CD*DB

Висота – відрізок перпендикуляра
BD⊥AC

Щоб знайти висоту:

h=2S/a ,

де S - площа трикутника,
а – сторона, до якої проведена висота 

Рівнобедренний трикутник

Означення. Трикутник, у якого дві сторони (бічні) рівні – рівнобедренний трикутник
АВ=ВС, АС- основа

Властивість 1. Кути при основі рівні.
∠ВАС = ∠ВСА

Властивість 2. Медіана проведена до основи є висотою і бісектрисою.
∠ М=90 °, АМ=МС, ∠АВМ = ∠МВС

 Рівносторонній трикутник

Означення. Трикутник, у якого всі сторони рівні – рівносторонній трикутник

Властивість 1. Всі кути по 60°

Властивість 2. Будь яка медіана є висотою і бісектрисою.

h = \dfrac{{a \sqrt{3}}}{2}, S= \dfrac{{a^2 \sqrt{3}}}{4}

Теорема косинусів

а²=b²+c² – 2 bc cosα 

 Теорема синусів

\dfrac{a}{\sin \alpha}= \dfrac{b}{\sin \beta}=\dfrac{c}{\sin \gamma}

Паралельні прямі, які перетинають сторони кута відтинають на сторонах пропорційні відрізки

\dfrac{{OB_1}}{B_1B_2}=\dfrac{{OA_1}}{A_1A_2}

Подібні трикутники – трикутники у яких сторони пропорційні і кути рівні
ΔАВС ~ ΔА_¹В₁С₁
∠ А = ∠ А₁, ∠ В = ∠ В₁, ∠ С = ∠ С₁

AB/(A_1 B_1 )=BC/(B_1 C_1 )=AC/(A_1 C_1 )=k,

k- коефіцієнт подібності

 Пряма паралельна стороні трикутника відтинає подібний трикутник

А₂С₂||AC
ΔАВС ~ ΔА₂ВС₂

Центр описаного кола –перетин серединних перпендикулярів

AO=R, R=abc/{4S}, R=\dfrac{a}{2 \sin \alpha} 

Для рівнобедреного трикутника R= \dfrac{a}{\sqrt{3}}

Центр вписаного кола – перетин бісектрис

r=KO=NO=MO

KO⊥AB, NO⊥BC, MO⊥AC

r=2\dfrac{S}{a+b+c}

для рівностороннього:
r=\dfrac{a}{2 \sqrt{3}}

 S=pr

p=\dfrac{{a+b+c}}{2},

r – радіус вписаного кола

 Площа рівностороннього трикутника

S=\dfrac{{a^2 \sqrt{3}}}{4}

Площа прямокутного трикутника

  S=\dfrac{1}{2} ab

 Медіана трикутника ділить його на два трикутника, що рівні по площі

BD – медіана

S_ΔABD=S_ΔBDC

 Площі трикутників, що мають однакову висоту, відносяться як основи, до яких провдена ця висота

\dfrac{{S_{\Delta ABD}}}{S_{\Delta BDC}} =\dfrac{{AD}}{DC}

 D – точка перетину медіан

S_{\Delta ADC}=S_{\Delta CBD}=S_{\Delta BDA}=\dfrac{1}{3} S_{\Delta ABC}

S_{\Delta ADK}=S_{\Delta ADM}=S_{\Delta MDB}=cdots=\dfrac{1}{6} S_{\Delta ABC}