Скачай теоретичний матеріал, щоб він завжди був під рукою.

Теоретичні відомості.

Тема «Аксіоми стереометрії. Прямі і площини в просторі»

Способи задання площини


три точки, які не лежать на одній прямій	пряма і точка, яка не лежить на прямій	дві прямі, що перетинаються	дві паралельні прямі

Розміщення у просторі
прямих


перетинаються (1 спільна точка)	паралельні (немає спільних точок)	мимобіжні (немає спільних точок), не лежать в одній площині

прямої і площини


пряма лежить у площині (безліч спільних точок) Якщо дві точки прямої лежать у площині, то пряма належить площині	пряма перетинає площину (одна спільна точка)	пряма паралельна площині (немає спільних точок)

площин


перетинаються (безліч спільних точок)	лежать на прямій перетину паралельні (немає спільних точок)

І. Паралельність в просторі

1. Паралельність прямих
Означення. Дві прямі, які лежать в площині і не перетинаються називаються паралельними.
Ознака. Дві прямі, паралельні третій, паралельні.
Через точку, що не лежить на даній прямій, можна провести пряму, паралельну даній і тільки одну.

2. Паралельність прямої і площини
Означення. Пряма називається паралельною площині, якщо вони не перетинаються.
Ознака. Якщо пряма, яка не належить площині, паралельна якій-небудь прямій у цій площині, то вона паралельна площині.

Властивість.
Screenshot 14 1. Всі паралельні прямі, які перетинають задану пряму лежать в одній площині.

Screenshot 15 2. Якщо через пряму, яка паралельна площині, проходить інша площина, що перетинає дану, то пряма перетину площин паралельна першій прямій.

3. Паралельність площин

Означення. Площини називаються паралельними, якщо вони не перетинаються. Screenshot 16

Ознака. Якщо дві прямі однієї площини, що перетинаються, відповідно паралельні двом прямим другої площини, які перетинаються, то площини паралельні.

Властивість.

Screenshot 17 1. Дві різні площини паралельні третій, паралельні між собою.

2.Якщо дві паралельні площини перетинаються третьою, то прямі перетину паралельні.

3. Відрізки паралельних прямих, які розміщені між паралельними площинами, рівні.

4. Через точку поза площиною можна провести площину паралельну даній і тільки одну.

5. Якщо пряма перетинає одну з паралельних площин, то вона перетинає і другу.

6. Якщо одна з паралельних прямих перетинає площину, то і друга пряма також перетинає цю площину.

ІІ. Перпендикулярність в просторі

1. Перпендикулярність прямих
Означення. Прямі називаються перпендикулярними, якщо вони перетинаються під кутом 90°.
Ознака. Якщо дві прямі, що перетинаються, паралельні двом перпендикулярним прямим, то вони перпендикулярні.

2. Перпендикулярність прямої і площини

Означення. Пряма називається перпендикулярною до площини, якщо вона перпендикулярна до будь-якої прямої у площині і проходить через точку перетину.

Screenshot 19

Ознака. Якщо пряма перпендикулярна до двох прямих, які лежать у площині і перетинаються, то вона перпендикулярна до площини.

Властивості.

1. Дві прямі перпендикулярні до однієї площини, паралельні між собою.
2. Якщо одна з двох паралельних прямих перпендикулярна до площини, то і друга перпендикулярна.

1. Пряма, перпендикулярна до однієї з двох паралельних площин, перпендикулярна і до другої площини.
2. Якщо дві площини перпендикулярні до однієї прямої, такі площини паралельні між собою.

Перпендикуляр і похила

Screenshot 23 АС⏊ ɑ – перпендикуляр, С – основа перпендикуляра
АВ – похила, В – основа похилої
ВС – проекція
1) перпендикуляр < за похилу
2) рівні похилі мають рівні проекції
3) з двох похилих більша та, у якої проекція більша

3. Перпендикулярність площин

Означення. Площини називаються перпендикулярними, якщо третя площина, перпендикулярна до прямої перетину площин, перетинає їх по перпендикулярних прямих. Screenshot 25

Ознака. Якщо площина, що проходить через , перпендикулярну до другої площини, то площини перпендикулярні.

Властивість. Якщо пряма, що лежить в одній з перпендикулярних площин, перпендикулярна до лінії їх перетину, то вона перпендикулярна і до другої площини.

(AB∈β, m⏊ɑ)⟹β⏊ɑ

ІІІ. Кути в просторі
1. Кут між паралельними прямими 0°
2. Кут між прямими, що перетинаються – менший з кутів, що утворилися при перетині.
3. Кут між мимобіжними прямими – кут між прямими, які перетинаються і паралельні даним мимобіжним прямим.
4. Кут між паралельними прямою і площиною 0°
5. Кут між перпендикулярними прямою і площиною 90°
6. Кут між прямою і площиною, які перетинаються це кут між прямою і її проекцією на площину.
на прямій вибрати точку (А) Screenshot 26
провести перпендикуляр до площини(АВ⏊ɑ)
ОВ – проекція
∠АОВ – кут між прямою і площиною
Screenshot 27 7. Кут між паралельними площинами 0°.
8. Кут між площинами, які перетинаються – це кут між прямими, по яких третя площина γ, яка перпендикулярна до лінії перетину, перетинає дані площини.

Кут між площинами від 0° до 90°.

Способи побудови
І спосіб:
1) ɑ∩β=с
2) на прямій с вибираємо точку М.
3)в кожній з площин через точку М проводимо прямі, перпендикулярні с
l₁⏊c, l₂⏊c. Кут між прямими l₁, l₂ – кут між площинами.

ІІ спосіб:
в одній з площин вибрати точку (А∈ β)
провести через неї перпендикуляри на пряму с (ɑ∩β) , АК⏊c і до площини ɑ (АО⏊ ɑ)
за ТТП ОК⏊с
∠АКО – кут між площинами.

Теорема про три перпендикуляри (ТТП)

Якщо пряма у площині перпендикулярна до похилої, то вона перпендикулярна і проекції похилої. Screenshot 30
Якщо пряма у площині перпендикулярна до проекції похилої, то вона перпендикулярна і похилої.
СВ⏊ ɑ, а∈ ɑ, СВ – перпендикуляр, СА – похила, ВА – проекція
1) АС⏊ а ⟹ АВ⏊ а
2) АВ⏊ а ⟹ АС⏊ а

ІV. Відстані в просторі

1. Відстань між точками – довжина відрізка АВ Screenshot 31

2. Відстань від точки М до прямої ɑ – довжина перпендикуляра d⏊ ɑ Screenshot 32
Screenshot 33 У просторі:

а∈ ɑ
провести СВ ⏊ ɑ (перпендикуляр до площини)
з точки В провести АВ⏊ а (проекція)
за ТТП СА – похила АС⏊ а – відстань від С до а

Відстань від точки М до

3. Відстань між паралельними прямими – це відстань від точки однієї прямої до другої прямої. Screenshot 34

Screenshot 35 4. Відстань від точки до площини – довжина перпендикуляра, проведеного з точки до площини. АВ ⏊ ɑ

5. Відстань між прямою і паралельною їй площиною – відстань від довільної точки прямої до площини. а‖ ɑ, АВ ⏊ ɑ Screenshot 36

Screenshot 37 6. Відстань між паралельними площинами – відстань від довільної точки однієї площини до другої площини. ɑ ‖ β , АВ ⏊ β.

7. Відстань між мимобіжними прямими – довжина спільного перпендикуляра до даних прямих.

Обчислення відстані між мимобіжними прямими (а і b)

Провести через одну пряму (а) площину (ɑ), яка паралельна до другої прямої (b) і знайти відстань (BH) між прямою b і площиною ɑ	Провести через прямі а і b паралельні площини ɑ і β і знайти відстань між паралельними площинами (BH).	Провести площину, перпендикулярну до однієї з прямих (b⏊ɑ) і спроектувати прямі на площину (b→B) BH⏊a. Знайти відстань від точки B до прямої a (BH⏊a – відстань)

Screenshot 41 Якщо точка рівновіддалена від вершин многокутника, то вона проектується на його площину у центр описаного кола (R)

Якщо SC=SD=SA=SB, SO⏊ ɑ
О – центр описаного кола
OA=OB=OC=OD=R – радіус описаного кола

Screenshot 42 Якщо точка рівновіддалена від сторін многокутника, то вона проектується на його площину у центр вписаного кола (r)

SL⏊AD, SM⏊AB, SN⏊BC, SK⏊CD
SL= SM= SN= SK, SO ⏊ ɑ
О – центр вписаного кола
OL=OM=ON=OK=r – радіус вписаного кола.

Таблиця радіусів описаного і вписаного кіл

	Довільний трикутник	Прямокутний трикутник	Правильні многокутники
	Довільний трикутник	Прямокутний трикутник	трикутник	квадрат	шестикутник
R	R=abc/4S R=\dfrac{a}{2\sin{\alpha}}	\dfrac{c}{2}, с- гіпотенуза	\dfrac{a}{\sqrt{3}}=\dfrac{{a \sqrt{3}}}{3}	\dfrac{a}{\sqrt{2}}=\dfrac{{a \sqrt{2}}}{2}	a
r	r=\dfrac{{2S}}{a+b+c}	\dfrac{{a+b-c}}{2}, a,b – катети	\dfrac{a}{2 \sqrt{3}}=\dfrac{{a \sqrt{3}}}{6}	\dfrac{a}{2}	\dfrac{{a \sqrt{3}}}{3}

Скачай теоретичний матеріал, щоб він завжди був під рукою.