Скачай теоретичний матеріал, щоб він завжди був під рукою.

Теоретичні відомості.

Тема «Цілі рівняння. Дробово-раціональні рівняння. Системи рівнянь»

І. Цілі рівняння

1. Лінійне рівняння з однією змінною ax=b, a,b – числа.

a≠0, x=\dfrac{b}{a} ; 2x=8, x=\dfrac{8}{4}=4
a=0, b≠0, немає коренів; 0x=7
a=0, b=0, х – будь-яке число; 0x=0

2. Квадратні рівняння ax²+bx+c=0, a≠0

Неповні
b=0, c≠0; ax²+c=0;	x²-9=0	x²+9=0
	x²=9 x=±3	немає коренів
b≠0, c=0; ax²+bx=0;	2x²-8x=0;	2x(x-4)=0; x=0, x=4
b=0, c=0; ax2=0;	5×2=0; x=0

Повні квадратні рівняння
D=b²-4ac – дискримінант	3x²-2x-1=0
x_1 = \dfrac{{-b- \sqrt{D}}}{2a} x_2 = \dfrac{{-b+\sqrt{D}}}{2a}	a=3, b=-2, c=-1
D>0 → 2 корені	D=(-2)²-43(-1)=4+12=16
D=0 → 1 корінь	x = \dfrac{{2\pm \sqrt{16}}}{2*3}
D<0 → немає коренів	x_1 = \dfrac{{2+4}}{6}=\dfrac{6}{6}=1 x_2 = \dfrac{{2- 4}}{6}=-\dfrac{2}{6} = -\dfrac{1}{3}

Теорема Вієта для рівняння
x²+bx+c=0	x²-3x+2=0
x₁+x₂=-b	x₁+x₂=3; x₁=1
x₁*x₂=c	x₁*x₂=2; x₂=2

Спосіб заміни
x⁴-5x+6=0
x²=t; t²-5t+6=0; t₁=2, t₂=3
x²=2, x=±√2;
x²=3, x=±√3

Розкладання на множники
x³-5x²-4x+20=0
(x³-5x²) – (4x-20)=0; x²(x-5) – 4(x-5)=0
(x-5)(x²-4)=0; (x-5)(x-2) (x+2)=0
x-5=0, x-2=0, x+2=0
x=5, x=2, x=-2

IІ. Дробово-раціональні рівняння

Хоча б один член рівняння є дробовим виразом (містить змінну в знаменнику)

Способи розв’язання		\dfrac{{x+1}}{2}=\dfrac{{1}}{x+2}
1	Звести рівняння до виду \dfrac{{P(x)}}{Q(x)} = 0, $\begin{cases} P(x)=0 \\ Q(x)<>0 \end{cases}$	\dfrac{{x+1}}{2} - \dfrac{{1}}{x+2}=0; \dfrac{{(x+1)(x+2)-2}}{2(x+2)}=0 \dfrac{{x^2 +2x +x +2-2}}{2(x+2)}=0; \dfrac{{x^2 +3x}}{2(x+2)}=0 $\begin{cases} x^2 + 3x=0 \\ 2(x+2)<>0 \end{cases}$ x≠-2; x(x+3)=0; x=0; x=-3 Відповідь: x=0; х=-3
2	Розв’язати рівняння, використовуючи основну властивість пропорції.	\dfrac{{x+1}}{2}=\dfrac{{1}}{x+2}; ОДЗ: х+2≠0 (x+1)(x+2)=1*2; x²+x+2x+2=2; x²+3x=0 x(x+3)=0; x=0, x=-3
3	Записати ОДЗ. Домножити обидві частини рівняння на спільний знаменник виразів	\dfrac{{x+1}}{2}=\dfrac{{1}}{x+2}; ОДЗ: x+2≠0; x≠-2 2 (x+2){{x+1}/1}= 2(x+2) \dfrac{1}{x+2} (x+2)(x+1)=2 x²+3x=0, x=0, x=-3

III. Системи рівнянь

Розв’язати систему рівнянь – знайти всі розв’язки або довести, що їх не має.
Рівносильні системи рівнянь – множини розв’язків збігаються.

Способи розв’язання:

1. Графічний метод
Побудувати графіки рівнянь і знайти координати точок перетину.

2. Метод підстановки: $\begin{cases} x+y=5 \\ x^2 + y^2=13 \end{cases}$

1	Виразити одну зі змінних через інше	$\begin{cases} y=5-x \\ x^2 + (5-x)^2=13 \end{cases}$
2	Підставити отриманий вираз в інше рівняння	x²+25-10x+x²-13=0
3	Розв’язати отримане рівняння	2x²-10x+12=0 x²-5x+6=0 x₁= 2, x₂=3
4	Визначити значення іншої змінної	y₁=5-2=3, y₂=5-3=2
	Відповідь: (2;3) (3;2)

3. Метод додавання: $\begin{cases} 2x-y=4 \\ x+2y=7 \end{cases}$

1	Рівняння системи домножити на числа, щоб коефіцієнти однієї із змінних стали протилежними числами	$\begin{cases} 2x-y=4 {\left\| *2 \right.} \\ x+2y=7 \end{cases}$ $\begin{cases} 4x-2y=8 \\ x+2y=7 \end{cases}$
2	Додати почлено частини рівняння і розв’язати отримане рівняння	5x=15 x=3
3	Знайти значення іншої змінної	2*3-y=4 6-y=4 y=2
	Відповідь: (3;2)

4. Метод заміни

Ввести нові змінні для спрощення системи рівнянь.

$\begin{cases} x^2y^2 - 3xy=18 \\ 4x+y=1 \end{cases}$ ; xy=t; t²-3t-18=0; t₁=-3, t₂=6

$\begin{cases} xy=-3 \\ 4x+y=1 \end{cases}$ або $\begin{cases} xy=6 \\ 4x+y=1 \end{cases}$

$\begin{cases} y=1-4x \\ x(1-4x)=-3 \end{cases}$ або $\begin{cases} y=1-4x \\ x(1-4x)=6 \end{cases}$

$\begin{cases} y=1-4x \\ x-4x^2+3=0 \end{cases}$

4x²-x-3=0
x₁ = 1, x₂=-0,75
y₁=1-4=-3, y₂=1-4(-0,75)=4

$\begin{cases} y=1-4x \\ x-4x^2-6=0 \end{cases}$

4x²-x+6=0
D<0 немає розв’язки

Скачай теоретичний матеріал, щоб він завжди був під рукою.