Теоретичний матеріал. Основні відомості

Скачай теоретичний матеріал, щоб він завжди був під рукою.

Тема «Тригонометричні вирази»

Тригонометрія

R=1
cos α=x
sin α=y

x	y
Pα (cos α;	sin α)

Перетворення:
1000⁰≡280⁰ IV чверть

1000	\|360
720	\|2
280

1 рад≈57⁰
180⁰=π

\dfrac{{5 \pi}}{3} =\dfrac{{5*180^0}}{3}=300^0

25^0=25* {\pi/180} =\dfrac{{25\pi}}{180}=\dfrac{{5\pi}}{36}

\dfrac{{22\pi}}{7}=3 {1/7} \pi=3 \pi+\dfrac{\pi}{7} ІІІ чверть
\dfrac{{41\pi}}{7}=5 {6/7} \pi=6 \pi-\dfrac{\pi}{7} ІV чверть

Знаки

Періодичність:

Т – період
f(x+T)-f(x)
sin i cos T=2π=360⁰
tg i ctg T= π=180⁰
tg(740⁰)=tg20

740 |180
720 |4
20

Якщо f(x) – T, то f(kx+b)-\dfrac{{T}}{\left| k \right|}
Період f(x)=\dfrac{1}{3} \sin(4x+\dfrac{\pi}{4})-1
T=\dfrac{{2\pi}}{4}=\dfrac{\pi}{2} ; k=4; 2π– період sin

Парність:

парна
cos (-x)=cos x

не парні
sin (-x)= – sin x
tg (-x)= – tg x
ctg (-x)= – ctg x

Формули зведення

чверть
знак
функція

(πn ± α) – функція не змінна (\dfrac{{\pi n}}{2} pm \alpha) – функція змінюється
\sin(\dfrac{{3\pi}}{2} -\alpha)= -\cos \alpha
1) III чверть
2) знак sin «–»
3) змінюється

\dfrac{\cos{43\pi}}{4}=\cos(10 \dfrac{3}{4} \pi)=\cos(11\pi- \dfrac{\pi}{4})=\cos(10\pi+\pi - \dfrac{\pi}{4})=-\cos \dfrac{\pi}{4}=-\dfrac{{\sqrt{2}}}{2}
10π =T – період
(\pi - \dfrac{\pi}{4})– ІІ чверть

Тригонометричні формули

Основні тригонометричні тотожності

\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha=1 \operatorname{tg} \alpha=\dfrac{{\sin \alpha}}{\cos \alpha} \operatorname{ctg} \alpha=\dfrac{{\cos \alpha}}{\sin \alpha} \operatorname{tg} \alpha*\operatorname{ctg} \alpha=1 1+\operatorname{tg}^2 \alpha=\dfrac{1}{\cos^2 \alpha} 1+\operatorname{ctg}^2 \alpha=\dfrac{1}{\sin^2 \alpha}	(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha+\operatorname{ctg}^2 \alpha)\sin^2 \alpha=(1+\operatorname{ctg}^2 \alpha) \sin^2 \alpha =\dfrac{{1}}{\sin^2 \alpha} {* \sin^2 \alpha=1}
	\cos \beta=\dfrac{3}{4}, \dfrac{{3\pi}}{2} < \beta < 2 \pi. Знайти sin β. \sin^2 \beta=1-\cos^2 \beta=1-(\dfrac{3}{4})^2=1-\dfrac{9}{16}=\dfrac{7}{16} \sin \beta=pm \dfrac{{\sqrt{7}}}{4} IV чверть, тому \sin \beta= -\dfrac{{\sqrt{7}}}{4}

Формули додавання

sin (α+β)=sinα cosβ + cosα sin β
sin (α - β)=sinα cosβ - cosα sin β
cos (α+β)=cosα cosβ - sinα sin β
cos (α - β)=cosα cosβ+sinα sin β

\sin(\dfrac{\pi}{4}+\alpha)=\sin \dfrac{\pi}{4} \cos \alpha+\cos \dfrac{\pi}{4} \sin \alpha=

\dfrac{\sqrt{2}}{2} \cos \alpha+\dfrac{\sqrt{2}}{2} \sin \alpha=\dfrac{\sqrt{2}}{2}(\cos \alpha+\sin \alpha)

\operatorname{tg}(\alpha+\beta)=\dfrac{{\operatorname{tg} \alpha+\operatorname{tg} \beta}}{1-\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta}
\operatorname{tg}(\alpha-\beta)=\dfrac{{\operatorname{tg} \alpha-\operatorname{tg} \beta}}{1+\operatorname{tg} \alpha \operatorname{tg} \beta}

\cos15^0=\cos(45^0+30^0 )=\cos45^0 \cos30^0 +\sin45^0 \sin30^0 =

{\sqrt{2}/2 }* {\sqrt{3}/2} + {\sqrt{2}/2 }* {1/2}=\dfrac{\sqrt{2}}{4} (\sqrt{3}+1)

Формули подвійного кута

sin 2α= 2 sin α cos α
cos2α=cos2α – sin² α=2 cos² α – 1 = 1 - 2 sin² α
\operatorname{tg} 2\alpha=\dfrac{{2 \operatorname{tg} \alpha}}{1-\operatorname{tg}^2 \alpha}

\sin x=2 \sin {x/2} \cos{x/2}

\sin 5=2 \sin \dfrac{5}{2} \cos \dfrac{5}{2}
\cos 8\alpha=\cos^2 4 \alpha-\sin^2 4\alpha

Формули пониження степеня

\sin^2 \alpha=\dfrac{{1-\cos2 \alpha}}{2}
\cos^2 \alpha=\dfrac{{1+\cos2 \alpha}}{2}
1-\cos \alpha=2\sin^2 {\alpha/2}
1+\cos \alpha=2\cos^2 {\alpha/2}

\sin^2 {{5x}/2}=\dfrac{{1-\cos5 \alpha}}{2}
1+\cos5x=2\cos^2 {{5x}/2}

Перетворення в добуток

sin⁡α+sin⁡β=2 sin\dfrac{{\alpha+\beta}}{2} cos⁡\dfrac{{\alpha-\beta}}{2}
sin⁡α-sin⁡β=2 cos \dfrac{{\alpha+\beta}}{2} sin⁡\dfrac{{\alpha-\beta}}{2}
cos⁡α+cos⁡β=2 cos \dfrac{{\alpha+\beta}}{2} cos⁡\dfrac{{\alpha-\beta}}{2}
cos⁡α-cos⁡β=-2 sin \dfrac{{\alpha+\beta}}{2} sin\dfrac{{\alpha-\beta}}{2}

\cos48^0-\cos12^0=-2 \dfrac{\sin{48^0+12^0}}{2} \sin \dfrac{{48^0-12^0}}{2} =

-2 \sin30^0 \sin18^0=-2 \dfrac{1}{2} \sin18^0=-\sin18^0

Перетворення в суму

sinα sinβ=\dfrac{1}{2}(cos⁡(α-β)-cos⁡(α+β))
cosα cosβ=\dfrac{1}{2}(cos⁡(α-β)+cos⁡(α+β))
sinα sinβ=\dfrac{1}{2}(sin⁡(α-β)+sin⁡(α+β))

\sin43^0 \cos19^0=\dfrac{1}{2}(\sin(43^0 - 19^0 )+\sin(43^0 + 19^0 ) )=

=\dfrac{1}{2}(\sin24^0 + \sin62^0)

Введення допоміжного кута

a \sin \alpha + b \cos \alpha=\sqrt{a^2+b^2}* (формула)

sinx+cosx=\sqrt{1^2+1^2} (\dfrac{1}{\sqrt{2}} sinx+ \dfrac{1}{\sqrt{2}} cosx )=

\sqrt{2} (\cos \dfrac{\pi}{4} \sin x+\sin \dfrac{\pi}{4} cosx)=\sqrt{2} \sin(x + \dfrac{\pi}{4})

Скачай теоретичний матеріал, щоб він завжди був під рукою.