Теорія.

Теорема про три перпендикуляри. Якщо пряма, проведена на площині через основу похилої, перпендикулярна до її проекції, то вона перпендикулярна і до похилої.

Обернена теорема. Якщо пряма на площині перпендикулярна до похилої, то вона перпендикулярна і до проекції похилої.

Тобто, якщо АО – перпендикуляр до площини α; АВ – похила. Через основу похилої – точку В проведено пряму KP. Теорема про три перпендикуляри стверджує, що якщо KP ortho ОВ, то KP ortho АВ, і навпаки, якщо KP ortho АВ, то KP ortho ОВ.

Типові розв’язки задач

Задачі на побудову.

Дано квадрат ABCD, KBorthoABCD. Побудувати відрізок, що є відстанню від точки K до сторони AD.

Дано ABCD квадрат. З вершини С проведено перпендикуляр СК до площини ABCD. Побудувати відрізок від точки K до сторони AD.

Дано прямокутний трикутник АВС. РКortho АВС. Кут С =90^0. Провести через точку Р перпендикуляр до сторони ВС.

Задачі на обчислення

Дано рівносторонній трикутник ABC. Відома довжина сторони AB, та довжина перпендикуляра КА. Знайти відстань від точки К до сторони ВС

Дано ABCD квадрат. З вершини С проведено перпендикуляр СМ до площини ABCD. Довести що прямі ВD і MO перпендикулярні та обчислити відстань від точки М до прямої ВD, якщо відомо довжини МС та сторони квадрата.

Дано ABCD ромб. З вершини С проведено перпендикуляр СF до площини ABCD. Відома відстань від точки F до діагоналі BD. Знайти відстань від точки F до площини ромба якщо відома довжина діагоналі та сторони ромба.

Дано рівносторонній трикутник ABC. АKorthoABC. Довжина якого відрізка буде відстань від точки К до сторони ВС.

Дано прямокутний трикутник ABC. Кут С =90^0. Знайти відстань від точки Р до сторони АС трикутника, якщо ВРortho АВС.

Задачі на доведення

Дано трикутник ABC. Точка О центр вписаного в трикутник кола. К — точка дотику кола до сторони ВС. МОortho АВС. Довести що трикутник МКС — прямокутний трикутник.

Дано прямокутний трикутник ABC. МО — середня лінія цього трикутника. Кут С =90^0. ОК orthoABC. Довести що трикутник КСМ — прямокутний трикутник.