Застосування похідної

Система завдань для самостійного вивчення

Удосконалення методики навчання учнів найтісніше пов’язано з розвитком їх самостійної діяльності на уроках і в позаурочний час. Саме в розвитку самостійності є забезпечення максимально сприятливих умов для розвитку особистості, для розкриття її здібностей, творчого мислення.

 І.Дотична до графіку функції

Рівняння дотичної до графіку функції y=f(x) у точці з абсцисою х₀: y=f(x₀)+f¹(x₀)(x-x₀).

Кутовий коефіцієнт k дотичної до графіку функції y=f(x) у точці з абсцисою х0 k=tgα=f ΄(x0), де α – кут між дотичною і додатнім напрямом осі абсцис.

Дві прямі y=k₁x+b₁ і y=k₂x+b₂ паралельні, якщо k₁=k₂, b₁≠b₂, перпендикулярні, якщо k₁k₂=-1.

Кут між графіками функцій у точці їх перетину – це кут між дотичними до графіків у цій точці визначається за формулою tgΦ= |\dfrac{{k_2 - k_1}}{1+k_1 k_2}|

Приклад 1. Скласти рівняння дотичної до графіку функції f(x)=2-4x-3x² у точці х₀=-2.
Якщо х₀=-2, f(x₀)=-2, f ΄(x₀) =-4-6x₀=-4-6(-2)=8, тоді у=-2+8(х+2), у=8х+14.

Приклад 2. Знайти рівняння дотичної до графіка функції f(x)=2e^-x+3, яка паралельна прямій у=-2х+1.
Дотична до графіка має той же коефіцієнт, що і пряма, тобто k=-2. Знайдемо похідну функції f(x): f΄(x)=-2e^-x. –2e^-x=-2, e^-x=1, x₀=0, f(x₀)=f(0)=5. Тоді у=5-2(х-0), у=-2х+5.

Приклад 3. Під якими кутами парабола у=х²+2х-8 перетинає вісь абсцис?
Знайдемо точки перетину даної параболи з віссю абсцис: х²+2х-8=0, х₁=-4, х₂=2.
Кутовий коефіцієнт дотичної до параболи в точці х₁=2: у΄=2х+2, к₁=у΄(2)=6. кут нахилу α₁ такий , що tgα₁=6, 0≤α₁<π, тому α₁=arctg6. для точки х₂=-4: к₂=у΄(-4)=-6, tgα₂=-6, α₂=π-arctg6.

ІІ. Зростання і спадання функції

Для знаходження проміжків зростання і спадання: знайти

1) область визначення функції;

2) похідну даної функції;

3) критичні точки – точки в яких похідна дорівнює 0( f ΄(x) =0) і точки, в яких функція визначена і похідна не існує

4) розбити область визначення на інтервали, де похідна зберігає знак ( критичні точки і точки розриву);

5) визначити знак похідної на кожному з даних інтервалів( якщо f ΄(x)≥0, функція зростає, якщо f ΄(x)≤0 – спадає).

Для перегляду та скачування матеріалу скористайтесь кнопкою нижче.