Види функцій.Теоретичні відомості.

І. Елементарні функції:

1. Лінійна функція y=kx+b, k,b- числа. Графік – пряма. Для побудови потрібно дві точки. k=tgα, де α –кут між прямою і додатним напрямом осі Ох, (0;b) –точка перетину прямої і осі Оу

k>0	k<0

Окремі випадки лінійної функції

b=0, y=kx пряма пропорційність	k=0, y= b

проходить через початок координат	пряма паралельна осі Ох

2. Обернена пропорційність y=\dfrac{k}{x}
Графік гіпербола.

k>0	k<0

3. Квадратична функція ax²+bx+c, a,b,c-числа, a≠0.
Графік парабола.

Screenshot 7 y=x²

Схема побудови параболи
1. Визначити напрям віток. Якщо a>0 вітки вгору, a<0- вітки вниз.
2. Знайти координати вершини параболи за формулою x_v =- \dfrac{b}{2}a, y_v можна знайти при підстановці x_v у формулу y=ax²bx+c. x=x_v
вісь симетрії параболи.
3. Знайти нулі функції, точки перетину з віссю Ох. Для цього розв’язати рівняння ax²+bx+c=0 .
4. Знайти точку перетину з віссю Оу (х=0).
5. При потребі знайти декілька додаткових точок.

4. Степенева функція y=x^p, де р-стале дійсне число.

р-натуральне парне число y=x², y=x⁴, y=x^100,x\in R
р-натуральне непарне число y=x³, y=x⁴, y=x^99,x\in R
р-ціле від’ємне парне число y=x^-², y=x^-4, y=x^-100,x\in R/{0}
р-ціле від’ємне непарне число y=x^-3, y=x^-5, y=x^-100,x\in R/{0}
р- дробове додатне число, менше 1 x \in [0;+ ∞) y=x^{1/2} , y=x^{2/5} ,y=x^{1/5}
р- дробове додатне число, більше 1 x \in [0;+ ∞) y=x^{3/2} , y=x^{7/5} ,y=x^{1.5}
р=0 x\in R/{0} y=1
р- дробове від’ємне число y=x^{-1/2} , y=x^{-2/5} ,y=x^{-7/5} x\in (0;+∞)

Примітка. Функції y=x^{1/3} і y= root{3} {x} -різні функції. Перша визначена при x\in [0;+∞) , друга при x\in R. Ця відмінність вірна для всіх видів функцій y=x^{1/n} і y= root{n} {x} , де n- непарне. Якщо n- парне, то функції тотожні.

5. Тригонометричні функції

y=sinx		1. D(y)=R 2. E(y)=[-1;1] 3. функція непарна 4. періодична T=2π
y=cosx		1. D(y)=R 2. E(y)=[-1;1] 3. функція парна 4. періодична T=2π
y=tgx		1. D(y):x<> \dfrac{{\pi}}{2} +\pi n, n \in Z 2. E(y)=R 3. функція непарна 4. періодична T=π
y=ctgx		1. D(y):x<> {\pi}n, n \in Z 2. E(y)=R 3. функція непарна 4. періодична T=π

6. Обернені тригонометричні функції.

y=arcsinx		1. D(x)=[-1;1] 2. E(y)=[- \dfrac{{\pi}}{2} ; \dfrac{{\pi}}{2}] 3. функція непарна arcsin(-x)=-arcsin x
y=arccosx		1. D(x)=[-1;1] 2. E(y)=[0;π] 3. функція ні парна, ні непарна arccos(-x)=π-arccos x
y=arctgx		1. D(y)=R 2. E(y)=(- \dfrac{{\pi}}{2} ; \dfrac{{\pi}}{2}) 3. функція непарна arctg(-x)=-arctgx
y=arcctgx		1. D(y)=R 2. E(y)=(0;π) 3. функція ні парна, ні непарна arcctg(-x)=π-arcctgx

7. Показникова функція Функція виду y=a^x, a>0, a≠0, x -змінна , a-число

	1. D(y)=R 2. E(y)= (0;+∞)
функція зростаюча		функція спадна

8. Логарифмічна функція y=log_ax , a>0, a≠0, x -змінна , a -число

функція зростаюча		функція спадна
	1. D(y)=(0;+∞) 2. E(y)= R