Теоретичні відомості. Приклади розв’язку завдань
Область визначення функції – це множина всіх значень змінної x, при яких функція має зміст.
З’ясуємо, як знайти область визначення деяких функцій, заданих формулою.
1. Якщо функція — многочлен, то вона існує при будь-яких значеннях аргумента, тобто її область визначення — всі дійсні числа.
2. Якщо функція задана формулою, яка містить аргумент у знаменнику дробу, то до області визначення функції входять всі дійсні числа, крім тих, які перетворюють знаменник в нуль.
3. Якщо функція задана формулою, яка містить арифметичний квадратний корінь (арифметичний квадратний корінь парного степеня), то до області її визначення входять всі дійсні числа, при яких підкореневий вираз набуває невід’ємних значень.
4. Області визначення тригонометричних функцій:
y=tgx delim\left\{{x \in R {vert} x<>\pi/2 + \pi n, n \in Z}\right\}
y=ctgx delim\left\{{x \in R vert x<>\pi n, n \in Z}\right\}
5. Області визначення обернених тригонометричних функцій:
y=arccosx, x \in [-1;1]
y=arcsinx, x \in [-1;1]
6. Логарифмічна функція y=loga x , де a>0, a≠1, x>0 .
7. Область визначення степеневих функцій y=xp.
Якщо p=0 або p - відємне число, то x \in (- \infty;0) \cup (0;+{\infty})
якщо p – додатне дробове число , то x \in [0; +{\infty});
якщо p – від’ємне дробове число , то x \in (0;+{\infty})
Приклад. Знайти область визначення функції, заданої формулою:
| 1 |
y=\dfrac{x}{x-1} |
2 | y=x^2-5x+4 |
| 3 | y=\dfrac{{x-2}}{4} | 4 | y=\dfrac{1}{x(x-2)} |
| 5 | y=\sqrt{-x} | 6 | y=\sqrt{x^2-x-2} + \dfrac{2}{x-4} |
Розв’язання.
| 1 |
x-1≠0; x≠1. Відповідь: x \in (- \infty;1) \cup (1;+{\infty}). |
2 | x \in (- \infty;+{\infty}). |
| 3 | x \in (- \infty;+{\infty}). | 4 |
x(x-2)≠0; x≠0, x≠2. Відповідь: x \in (- \infty;0) \cup (0;2)\cup (2; + {\infty}). |
| 5 |
-x≥0, x≤0. Відповідь: x \in (-∞;0]. |
6 |
\begin{cases} x^2-x-2\geq 0; \\ x-4<>0 \end{cases} \begin{cases} x \in (- \infty;-1]\cup [2;+ \infty) \\ x<>4 \end{cases} Відповідь: {x \in (- \infty;-1] \cup [2;4) \cup (4;+ \infty)} . |
Область значень функції – це усі значення, які набуває залежна змінна (у).
Для знаходження області значень можна використати обмеженість певних функцій:
| 1 | \left| x \right|\geq 0; | 2 | x^2 \geq 0; |
| 3 | \sqrt{x} \geq 0 ; | 4 | a^x>0 ; |
| 5 |
y=ax^2+bx+c, якщо a<0 , то x \in [-∞; yb) , де yb -ордината вершини параболи, графіка функції; |
6 | -1≤sin x≤1, -1≤cos x≤1 |
| 7 | -\dfrac{\pi}{2}\leq \arcsin x \leq \dfrac{\pi}{2}, 0\leq \arccos x \leq \pi, -\dfrac{\pi}{2}< \operatorname{arctg} x <\dfrac{\pi}{2}, 0<\operatorname{arcctg} x <\pi | ||
Приклад. Знайти область значень функції:
| 1 | y=2-|x| | 2 | y=1+3 sinx |
| 3 | y=2x2-4x+1 | 4 | \sqrt{x^2+4} - 1 |
Розв’язання.
| 1 | |x|≥0, -|x|≤0, 2-|x|≤2, y \in (-∞;2] | 2 | -1≤sin x≤1, -3≤3sin x≤3, -2≤1+3sin x≤4 , y \in [-2;4] |
| 3 | x_b = \dfrac{b}{2a} , x_b = \dfrac{4}{4}=1 , y_b = 2-4+1=-1 y \in [-1;-∞) | 4 | x^2\geq 0,x^2+4\geq 4, \sqrt{x^2+4}\geq 2, \sqrt{x^2+4}-1\geq 1 y \in [-1;+∞) |
Інший спосіб знаходження області значень.
Позначити значення функції y=f(x) через a і з’ясувати при яких значеннях a можна знайти відповідне значення x.
Приклад. Знайти область значень функції y=2x2-4x+1.
2x2-4x+1=a. Для розв’язання квадратного рівняння знайдемо дискримінант. D=(-4)2-4·2·(1-a)=16-8+8a=8+8a . Для того, щоб рівняння мало розв’язки , потрібно, щоб виконувалась умова D≥0, тому 8+8a≥0, звідки a≥-1. Тому y \in [-1;+∞).