Cкачай теоретичний матеріал, щоб він завжди був під рукою.

Теоретичні відомості.

Тема «Функції та їх графіки»

І . Означення. Залежність між змінними x та y, в якій кожному значенню змінної x із деякої множини D відповідає єдине значення змінної y з множини Е, називається функціональною залежністю, або функцією.
Змінну x називають аргументом даної функції, чи незалежною змінною. Змінну y називають функцією від x, чи залежною змінною. Якщо залежність змінної у від змінної х є функцією, то коротко це записують так: y=f(x). Символом f(x) позначають значення функції, що відповідає значенню аргумента, який дорівнює х.
Всі значення незалежної змінної утворюють область визначення функції (D(f)). Всі значення, які приймає залежна змінна, утворюють множину значень функції (E(f)).

ІІ. Способи задання функції:

1. Описом, наприклад, кожному натуральному числу поставлено у відповідність його квадрат.
2. Формулою, наприклад, s=vt, y=2x-3. Функція може бути задана декількома формулами, записаними для різних проміжків області визначення. $y= \begin{cases} x-1, x<-3; \\ x^2, -3\leq x\leq 4; \\ 5, x>4 \end{cases}$
3. Таблицею, наприклад,

x	1	2	3	4	5
y	-1	1	6	5	7

4. Графіком.

	Приклад	Розв’язання
Знаходження значення функції, заданої формулою
1. Замість аргументу підставити у формулу дане її значення. 2. Обчислити значення одержаного виразу.	Чому дорівнює значення функції f(x)=\dfrac{{x-3}}{x+6} в точці x₀=6?	f(6)=\dfrac{{6-3}}{6+6}=\dfrac{1}{4}
Знаходження значення аргументу для даного значення функції
1. Замість значення функції у формулу підставити дане число. 2. Розв’язати отримане рівняння.	При якому значенню аргументу функція у=2х-3 приймає значення, що дорівнює 7?	2х-3=7; х=5

IІІ. Область визначення і множина значень функції

Область визначення функції – це множина всіх значень змінної x, при яких функція має зміст.
З’ясуємо, як знайти область визначення деяких функцій, заданих формулою.

1. Якщо функція — многочлен, то вона існує при будь-яких значеннях аргумента, тобто її область визначення — всі дійсні числа.
2. Якщо функція задана формулою, яка містить аргумент у знаменнику дробу, то до області визначення функції входять всі дійсні числа, крім тих, які перетворюють знаменник в нуль.
3. Якщо функція задана формулою, яка містить арифметичний квадратний корінь (арифметичний квадратний корінь парного степеня), то до області її визначення входять всі дійсні числа, при яких підкореневий вираз набуває невід’ємних значень.
4. Області визначення тригонометричних функцій: y=\operatorname{tg} x \left\{{x \in R vert x<>{\pi}/2 + \pi n, n \in Z }\right\}, y=\operatorname{ctg} x \left\{{x \in R vert x<>{\pi}n , n \in Z }\right\}

5. Області визначення обернених тригонометричних функцій: y= \arccos x, x \in [-1; 1], y= \arcsin x, x \in [-1; 1]
6. Логарифмічна функція y=log_ax, де a>0,a≠1, x>0 .
7. Область визначення степеневих функцій y=x^p.
Якщо p=0 , p – від’ємне ціле число, то , x ϵ(-∞;0) ꓴ (0; +∞)

якщо p – додатне дробове число , то x ϵ [0;+∞)
якщо p – від’ємне дробове число , то x ϵ (0;+∞)

Приклад. Знайти область визначення функції, заданої формулою:

y=\dfrac{x}{x-1}	x-1≠0; x≠0 Відповідь. x ϵ(-∞;1) ꓴ (1; +∞)
y=x^2 - 5x+4	x ϵ(-∞; +∞)
y=\dfrac{{x-2}}{4}	x ϵ(-∞; +∞)
y=\dfrac{1}{x(x-2)}	x(x-2) ≠0; x≠0; x≠2 Відповідь. x ϵ(-∞;0)ꓴ (0; 2) ꓴ (2; +∞)
y=\sqrt{-x}	-x ≥0, x≤0. Відповідь. x ϵ(-∞;0]
y=\sqrt{x^2 -x -2} + \dfrac{2}{x-4}	$\begin{cases} x^2-x-2\geq 0; \\ x-4<>0 \end{cases}$ $\begin{cases} x \in ( - \infty; -1] \cup [2; + \infty); \\ x<>4 \end{cases}$ Відповідь. x ϵ(-∞;1]ꓴ [2; 4) ꓴ (4; +∞)

Область значень функції – це усі значення, які набуває залежна змінна (у).

Для знаходження області значень можна використати обмеженість певних функцій:

1. \|x\|≥0	5. y=ax²+bx+c, якщо a>0, то x ϵ[y_в; +∞) , якщо a<0, то x ϵ(-∞;y_в] , де y_в– ордината вершини параболи, графіка функції;
2. x²≥0	6. -1≤sin x ≤1, -1 ≤ cos x≤1
3. \sqrt{x}\geq 0	7. - \dfrac{{\pi}}{2} \leq \arcsin x \leq \dfrac{{\pi}}{2} , 0\leq \arccos x\leq \pi - \dfrac{{\pi}}{2} < \operatorname{arctg} x <\dfrac{{\pi}}{2} , 0< \operatorname{arcctg} x< \pi
4. a^x>0

Приклад. Знайти область значень функції:

y=2-\|x\|	\|x\|≥0, -\|x\|≤0, 2-\|x\|≤2, y ϵ(-∞; 2]
y=1+3 sin x	-1≤sin x≤1, -3 ≤ 3 sin x≤3, -2 ≤1+3 sin x≤4, y ϵ[-2; 4]
y= 2x² - 4x + 1	{x_b = - b/{2a}}, { x_b = 4/4 =1}, {y_b = 2-4+1= -1;}
y=\sqrt{x^2 +4-1}	x²≥0, x²+4≥4, \sqrt{x^2+4}\geq 2, \sqrt{x^2 +4}-1 \geq 1 y ϵ[1; +∞)

Інший спосіб знаходження області значень. Позначити значення функції y=f(x) через a і з’ясувати при яких значеннях можна знайти відповідне значення x.

Приклад. Знайти область значень функції y=2x²-4x+1
2x²-4x+1=a. Для розв’язання квадратного рівняння 2x²-4x+1 – a=0 знайдемо дискримінант. D=(-4)² – 4*2*(1-a).=16-8-8a=8+8a Для того, щоб рівняння мало розв’язки , потрібно, щоб виконувалась умова D≥0, тому 8+8a≥0, звідки a≥-1. Тому y ϵ[- 1; +∞)

ІV. Властивості функцій

1. Точки перетину з осями координат.
Щоб знайти координати точки перетину з віссю Ох потрібно замість у поставити 0 і знайти відповідне значення х.
Щоб знайти координати точки перетину з віссю Оу потрібно замість х поставити 0 і знайти відповідне значення .
Приклад. Знайти точки перетину графіка функції y=x²-4 з осями координат.
Розв’язання. Перетин з віссю Ох: у=0, x²-4=0, x₁=2, x₂=-2 . Точки перетину (-2;0) і (2;0). Перетин з віссю Оу, х=0, y=0²-4=-4. Точка перетину (0;-4)

2. Нулі функції – значення аргументу, при яких значення функції дорівнює 0.
На графіку – це абсциси точок перетину з віссю Ох.
Знаходження нулів функції.
1. Замість значення функції у формулу підставити 0.
2. Розв’язати отримане рівняння f(x)=0.
3. Отримані корені рівняння – шукані нулі функції. Якщо рівняння не має коренів, то функція не має нулів.
Приклад. Знайти нулі функції f(x)= x²-3x-4, x²-3x-4=0; x₁=-1; x₂=4

4. Проміжки знакосталості
Означення. Проміжок, на якому функція набуває значень однакового знаку, називають проміжком знакосталості функції (значення x, при яких y>0 і y<0)

Скачай теоретичний матеріал, щоб він завжди був під рукою.