Скачай теоретичний матеріал, щоб він завжди був під рукою.

Теоретичні відомості.

Тема «Координати на площині і в просторі. Вектори»

Декартові координати
На площині

Вісь x – вісь абсцис
y – вісь ординат
z – вісь аплікат

 В просторі  

Точка на:
осі x (x; 0; 0)
осі y (0; y; 0)
осі z (0; 0; z)

Точка на площині:
XOY (x; y; 0)
XOZ (x; 0; z)
YOZ (0; y; z)

Координати середини відрізка:

x_0=\dfrac{{x_1+x_2}}{2}; y_0=\dfrac{{y_1+y_2}}{2}; z_0=\dfrac{{z_1+z_2}}{2}

A (x₁; y₁; z₁); B (x₂; y₂; z₂); C (x₀; y₀; z₀)

Відстань між точками : AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2 }

Рівняння кола:
(х – x₀)² + (y+ y₀)²=R²

O (x₀; y₀) – центр
М (x; y) – точка на колі
R – радіус

Рівняння прямої:
ax+by=c;  a, b, c – числа
y=kx+b
k = tgφ

Умова паралельності прямих k1= k2

Рівняння сфери: (х – x₀)² + (y+ y₀)² + (z – z₀)² =R²
O (x₀; y₀; z₀) – центр; R – радіус

Вектор – напрямлений відрізок
A (x₁; y₁), B (x₂; y₂)

\overline{AB} (x₂-x₁; y₂-y₁)

Абсолютна величина (модуль, довжина) вектора – довжина відрізка, що задає вектор 

\overline{a} (x; y); \left| \overline{a} \right|= \sqrt{x^2+y^2}
\overline{a} (x; y; z); \left| \overline{a} \right|= \sqrt{x^2+y^2 + z^2}

Нуль вектор {math}overline{0}{/math} – довжина дорівнює нулю

Одиничний вектор – довжина дорівнює 1

Рівні вектори – мають однаковий напрям і довжину. Рівні вектори мають рівні координати.

Колінеарні вектори – лежать на одній прямій або на паралельних прямих. Координати пропорційні. \overline{a} (x₁; y₁); \overline{b} (x₂; y₂);
x_\dfrac{1}{x_2} =y_\dfrac{1}{y_2}

Дії з векторами

1 Додавання векторів
\overline{a} (x₁; y₁); \overline{b} (x₂; y₂)

\overline{a} +\overline{b} (x₁ + x₂; y₁+ y₂)

Правило трикутника:
\overline{a}+\overline{b}=\overline{c} 

Правило паралелограма:

2 Різниця векторів 

\overline{a} (x₁; y₁);
 \overline{b} (x₂; y₂)

\overline{a} -\overline{b} (x₁ – x₂; y₁– y₂)

3 Добуток на число 

\overline{a} (x₁; y₁);
k \overline{a} (kx₁; ky₁)

4 Скалярний добуток векторів 

\overline{a}(x1; y1);
\overline{b} (x₂; y₂)

\overline{a}*\overline{b}= x₁ * x₂+ y₁*y₂
\overline{a}*\overline{b}= \left| \overline{a} \right|*\left| \overline{b} \right|* \cos \varphi
\cos \varphi = \dfrac{{\overline{a}*\overline{b}}}{\left| \overline{a} \right|*\left| \overline{b} \right|}

Умова перпендикулярності векторів: \overline{a}*\overline{b}=0

Якщо \overline{a}*\overline{b}>0, кут між векторами гострий.

Якщо \overline{a}*\overline{b}<0, кут між векторами тупий.

Скачай теоретичний матеріал, щоб він завжди був під рукою.