Похідна, геометричний і фізичний зміст похідної. Застосування похідної. Теоретичні відомості. Приклади розв’язку.

Таблиця похідних

Правила диференціювання

1. Сталий множник можна виносити за знак похідної. (С·f(x))’=Cf'(x)
2. Похідна суми (u+v)’=u’+v’
3. Похідна добутку (u·v)’=u’v+v’u
4. Похідна частки (\dfrac{u}{v})'=\dfrac{{u' v-v' u}}{v^2} (v<>0)
5. Похідна складеної функції (u(v(x)))’=u'(v(x))·v'(x)

Приклади
1. (5x³)’=5·(x³)’=5·3x²=15x²
2. (sinx+\dfrac{1}{x})' = (sinx)' + (\dfrac{1}{x})'=\cos x- \dfrac{1}{x^2}
3. (3xcosx)’=(3x)’ cosx+(cosx)’33x=3cosx-3x sinx
4. (\dfrac{{e^x}}{sinx})'=\dfrac{{(e^x)'sinx-(sinx)'e^x}}{\sin^2 x} = \dfrac{{e^x sinx-cosx e^x}}{\sin^2 x}=\dfrac{{e^x(sinx-cosx)}}{\sin^2 x}
5.(sin² x)’=((sinx)²)’= 2sinx (sinx)’=2sinxcosx=sin2x

Геометричний зміст похідної.

Значення похідної в точці x₀ дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до графіка функції в точці з абсцисою x₀ ( і дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної) f'(x₀)=tgα=k
Рівняння дотичної до графіка функції y=f(x) в точці з абсцисою x₀ y=f(x₀)+f'(x₀)(x-x₀)
Приклад. Скласти рівняння дотичної до графіка функції y=x^3 - \dfrac{1}{2} x^2 -4 у точці з абсцисою x₀=2
Обчислюємо значення функції в точці  f(x_0)=f(2)=2^2-\dfrac{1}{2} 2^2 -4=8-2-4=2
Знаходимо похідну f'(x)=3x²-x .
Знаходимо похідну в точці f'(2)=3*2²-2=12-2=10.

Рівняння дотичної y=2+10(x-2)=10x-18.

Механічний зміст похідної
Похідна характеризує швидкість зміни функції при зміні аргументу. Похідна від функції, що виражає залежність пройденого шляху S від часу t є миттєвою швидкістю v.
v=S'(t) – швидкість прямолінійного руху.
a=v'(t) – прискорення прямолінійного руху.

Приклад. Матеріальна точка рухається прямолінійно за законом S=10t-t². ( час t вимірюється в секундах, переміщення s- у метрах). В який момент часу точка зупиниться?
Точка зупиниться, коли її швидкість буде дорівнювати нулю.
x=S'(t), тому знайдемо похідну. S'(t)=10-2t, 10-2t=0, t=5.
Відповідь. 5с.