Cкачай теоретичний матеріал, щоб він завжди був під рукою.

Теоретичні відомості.

Тема «Похідна. Застосування похідної»

 Таблиця похідних

<p); text-align: justify;”>Правила диференціювання

Приклади
1. (5x³)’=5·(x³)’=5·3x²=15x²
2. (sinx+\dfrac{1}{x})' = (sinx)' + (\dfrac{1}{x})'=\cos x- \dfrac{1}{x^2}
3. (3xcosx)’=(3x)’ cosx+(cosx)’33x=3cosx-3x sinx
4. (\dfrac{{e^x}}{sinx})'=\dfrac{{(e^x)'sinx-(sinx)'e^x}}{\sin^2 x} = \dfrac{{e^x sinx-cosx e^x}}{\sin^2 x}=\dfrac{{e^x(sinx-cosx)}}{\sin^2 x}
5.(sin² x)’=((sinx)²)’= 2sinx (sinx)’=2sinxcosx=sin2x

Геометричний зміст похідної.

Значення похідної в точці x₀ дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до графіка функції в точці з абсцисою x₀ ( і дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної) f'(x₀)=tgα=k
Рівняння дотичної до графіка функції y=f(x) в точці з абсцисою x₀ y=f(x₀)+f'(x₀)(x-x₀)
Приклад. Скласти рівняння дотичної до графіка функції y=x^3 - \dfrac{1}{2} x^2 -4 у точці з абсцисою x₀=2
Обчислюємо значення функції в точці  f(x_0)=f(2)=2^2-\dfrac{1}{2} 2^2 -4=8-2-4=2
Знаходимо похідну f'(x)=3x²-x .
Знаходимо похідну в точці f'(2)=3*2²-2=12-2=10.

Рівняння дотичної y=2+10(x-2)=10x-18.

Механічний зміст похідної
Похідна характеризує швидкість зміни функції при зміні аргументу. Похідна від функції, що виражає залежність пройденого шляху S від часу t є миттєвою швидкістю v.
v=S'(t) – швидкість прямолінійного руху.
a=v'(t) – прискорення прямолінійного руху.

Приклад. Матеріальна точка рухається прямолінійно за законом S=10t-t². ( час t вимірюється в секундах, переміщення s- у метрах). В який момент часу точка зупиниться?
Точка зупиниться, коли її швидкість буде дорівнювати нулю.
x=S'(t), тому знайдемо похідну. S'(t)=10-2t, 10-2t=0, t=5.
Відповідь. 5с.

Застосування похідної
Критичні точки функції –внутрішні точки функції, в яких похідна функції дорівнює нулю або не існує
Приклад. Знайти критичні точки функції f(x)=x³-3x²
Розв’язання. Область визначення D(f)=R; f`(x)=3x²-6x; 3x²-6x=0; x₁=0; x₂=2. Критичні точки 0 і 2.

Ознаки зростання і спадання функції
Якщо на проміжку (a;b) f`(x)>0, то функція y=f(x) зростає на проміжку (a;b), якщо f`(x)<0, то функція на цьому проміжку спадає.

Щоб знайти проміжки зростання і спадання функції:
1) знайти область визначення функції;
2) знайти похідну функції;
3) знайти критичні точки;
4) виставити ці точки на числовій прямій і дослідити знак похідної.
5) на проміжках, де похідна має знак «+», функція зростає, де«-» -спадає.

Приклад. Знайти проміжки спадання функції f(x)=\dfrac{{x^2 + 5x}}{x-4}.
1) x-4<>0; D(f)=(- \infty;4) \cup (4; + \infty)
2) f {'} (x)= \dfrac{{(2x+5)(x-4) - (x^2 + 5x)}}{(x-4)^2}=\dfrac{{x^2 - 8x -20}}{(x-4)^2}.
3) \dfrac{{x^2 - 8x -20}}{(x-4)^2}=0; x_1=-2; x_2=10; x<>4
4) 

5) Якщо x ϵ (-∞; – 2]υ[10; +∞) функція зростає, якщо x ϵ [-2;4) U (4; 10] функція спадає

Точки екстремуму

точка максимуму
в околі точки виконується нерівність f(x₀)≥f(x)
Якщо при переході через x₀ похідна f`(x) змінює знак з «+» на «-» , то x₀– точка максимуму

точка мінімуму
в околі точки виконується нерівність f(x₀)≤f(x)
Якщо при переході через x₀ похідна f`(x) змінює знак з «-» на «+» , то x₀– точка мінімуму
Точки екстремуму слід шукати серед критичних точок, але не кожна критична точка є точкою екстремуму.
Значення функції в точках екстремуму називають екстремумами функцій

Щоб знайти точки екстремуму і екстремуми функції:
1) знайти область визначення функції;
2) знайти похідну функції;
3) знайти критичні точки;
4) виставити ці точки на числовій прямій і дослідити знак похідної.
5) знайти точки екстремуму, врахувавши характер зміни знаку похідної;
6) знайти екстремуми функцій

Приклад. Знайти точки екстремуму функції y=\dfrac{{x^2+3}}{x+1}.
Розв’язання. 1) D(y)=(-∞;-1) U (-1; + ∞)
2) Знайдемо похідну y {'} = \dfrac{{2x(x+1) - (x^2+3)}}{(x+1)^2}=\dfrac{{x^2+2x-3}}{(x+1)^2}.
3) Знайдемо критичні точки \dfrac{{x^2 + 2x -3}}{(x+1)^2}=0; x²+2x-3=0; x₁=-3_; x₂=1
4) Визначимо характер зміни знаків похідної при переході через критичні точки

5) При переході через точку х=-3 похідна змінює знак з «+» на «-»,тому х=-3 – точка максимуму. При переході через точку х=1 похідна змінює знак з «-» на «+»,тому х=1 – точка мінімуму.
Відповідь. х=-3 – точка максимуму, х=1 – точка мінімуму.

Найбільше і найменше значення функції на відрізку
Якщо точка y=f(x) неперервна на відрізку і має на ньому скінченне число критичних точок, то вона набуває свого найбільшого і найменшого значень на цьому відрізку або в критичних точках, що належать відрізку, або на кінцях проміжку.
Щоб знайти найбільше і найменше значення функції y=f(x) на відрізку, потрібно:
1) знайти область визначення функції;
2) знайти похідну функції;
3) знайти критичні точки;
4) вибрати серед них ті, що належать даному відрізку;
5) обчислити значення функції в цих критичних точках і на кінцях проміжку;
6) вибрати серед даних значень найбільше і найменше функції.

Приклад. Знайти найменше значення функції f(X)=2x³ – 15 x² + 24x + 3 на відрізку [0;2]
1) Область визначення D(f)=R
2) f`(x)=6x²-30x+24
3) 6x²-30x+24=0; x₁=1; x₂=4
4) x₂ ∉[0;2]; x₁ ϵ[0;2]
5) f(0)=3; f(2)= 2*2³-15*2² +48+3=7; f(1)=14
6) {\min}under{[0;2]} f(x) = f(0) =3.
Відповідь.3

Скачай теоретичний матеріал, щоб він завжди був під рукою.