Скачай теоретичний матеріал, щоб він завжди був під рукою.

Теоретичні відомості.

Тема «Ірраціональні рівняння»

Ірраціональні рівняння – невідоме під знаком кореня або має в показнику дріб.

У рівнянні, що містять корені парного степеня: значення кореня і підкореневий вираз – невід’ємні. \sqrt{f(x)}=g(x) $\begin{cases} f(x)\geq 0 \\ g(x)\geq 0 \end{cases}$
У рівнянні, що містять корені непарного степеня: підкореневий вираз і значення кореня, можуть бути будь-якими числами (значення кореня має той самий знак, що і підкореневий вираз)

При розв’язанні рівнянь, що містить корені парного степеня – робити перевірку!

√(x-2)=-2
коренів немає

√(x-2)=2
x-2=4
x=6

Основні способи розв’язання рівнянь

Піднесення обох частин до степеня

1- \sqrt{1-5x}=x

\sqrt{1+5x}=1-x

$\begin{cases} 1-x\geq 0 \\ 1+5x\geq (1-x)^2 \end{cases}$

x≤0

1+5x=1-2x+x²
x²-7x=0
x=0 або x=7 - сторонній корінь
Відповідь: х=0

Відокремлення квадратного кореня

\sqrt{x+2}+ \sqrt{3-x}=3

\sqrt{x+2}=3 - \sqrt{3-x}

x+2=(3-\sqrt{3-x})^2

x+2=9-6 \sqrt{3-x}+3-x

6 \sqrt{3-x}=10-2x

3\sqrt{3-x}=5-x

9(3-x)=(5-x)²
x²-x-2=0
x₁=-1; x₂=2

Перевірка:

\sqrt{-1 +2} + \sqrt{3-(-1)}=3

\sqrt{2+2}+ \sqrt{3-2}=3

Відповідь: x₁=-1; x₂=2

Введення нової змінної

x^2 + 3 x -18 +4\sqrt{x^2+3x-6}=0

\sqrt{x^2 +3x-6}=t, t≥0

x²+3x-6=t²
x²+3x=t²+6
t²+6-18+4t=0
t²+4t-12=0
t₁=-6; t₂=2
t₁- не задовольняє

\sqrt{x^2+3x-6}=2

x²+3x-6=4
x²+3x-10=0
x₁=2; x₂=-5

Відповідь: x₁=2; x₂=-5

Скачай теоретичний матеріал, щоб він завжди був під рукою.